Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/222

Maintenant il est clair que la valeur de $\tau _{2}$ redeviendra la même lorsque l’angle ${\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t$ se trouvera augmenté ou diminué de $360$ degrés pris une ou plusieurs fois ; donc, puisque la longitude moyenne du second satellite est exprimée par $\mu _{2}t,$ la période de la variation de $\tau _{2}$ sera de

$\pm {\frac {1}{{\cfrac {n}{2\mu _{2}}}(\sigma '-\sigma '')}}$

révolutions de ce même satellite. Or cette période est, selon les observations, de $31$ ans, ce qui répond à peu près à $3189$ révolutions du second satellite ; donc il faudra que

$\pm {\frac {n}{2\mu _{2}}}(\sigma '-\sigma '')={\frac {1}{3189}}=0{,}0003136.$

CXXVII.

Ayant trouvé $\lambda ''_{2}={\frac {1}{5}}\lambda '_{2},$ on pourra simplitier les expressions de $\tau _{2}$ et de $\operatorname {tang} \psi _{2},$ et l’on aura à très-peu près

${\begin{aligned}\tau _{2}=&\lambda '_{2}\left[1+{\frac {1}{5}}\cos \left({\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right)\right]\\\operatorname {tang} \psi _{2}=&\operatorname {tang} \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+{\frac {1}{3}}{\frac {\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]}{\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}}\\&-{\frac {1}{3}}{\frac {\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}{\cos ^{2}\left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]^{2}}}.\end{aligned}}$

Soit fait

$\psi _{2}=\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}+q,$

$q$ étant une quantité fort petite, on aura

$\operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+{\frac {q}{\cos ^{2}\left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}}$