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Combinant de même les deux premières des équations $(\mathrm {B} )$ et les deux premières des équations $(\mathrm {C} ),$ on aura ces deux-ci

${\begin{aligned}{\frac {y'\,d^{2}x'\ -x'\,d^{2}y'\ }{dt^{2}}}+&\mathrm {B} \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)(x\ y'\ -y\ x'\ )=0,\\{\frac {y''d^{2}x''-x''d^{2}y''}{dt^{2}}}+&\mathrm {A} \left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\ \right)(x'y''-y'x'')=0.\end{aligned}}$

Mais

$x''=x'-x,\quad y''=y'-y\,;$

donc

$x'y''-y'x''=xy'-yx'\,;$

donc, en ajoutant ensemble les trois équations précédentes, après avoir divisé la première par $\mathrm {C} ,$ la seconde par $\mathrm {B}$ et la troisième par $\mathrm {A} ,$ on aura celle-ci

${\frac {yd^{2}x-xd^{2}y}{\mathrm {C} dt^{2}}}+{\frac {y'd^{2}x'-x'd^{2}y'}{\mathrm {B} dt^{2}}}+{\frac {y''d^{2}x''-x''d^{2}y''}{\mathrm {A} dt^{2}}}=0.$

On trouvera de la même manière ces deux autres équations

${\begin{alignedat}{2}{\frac {zd^{2}x-xd^{2}z}{\mathrm {C} dt^{2}}}+&{\frac {z'd^{2}x'-x'd^{2}z'}{\mathrm {B} dt^{2}}}+&{\frac {z''d^{2}x''-x''d^{2}z''}{\mathrm {A} dt^{2}}}=&0,\\{\frac {zd^{2}y-yd^{2}z}{\mathrm {C} dt^{2}}}+&{\frac {z'd^{2}y'-y'd^{2}z'}{\mathrm {B} dt^{2}}}+&{\frac {z''d^{2}y''-y''d^{2}z''}{\mathrm {A} dt^{2}}}=&0.\end{alignedat}}$

De sorte qu’on aura, en intégrant,

(D)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {ydx-xdy}{\mathrm {C} dt}}+&{\frac {y'dx'-x'dy'}{\mathrm {B} dt}}+&{\frac {y''dx''-x''dy''}{\mathrm {A} dt}}=&a.\\{\frac {zdx-xdz}{\mathrm {C} dt}}+&{\frac {z'dx'-x'dz'}{\mathrm {B} dt}}+&{\frac {z''dx''-x''dz''}{\mathrm {A} dt}}=&b,\\{\frac {zdy-ydz}{\mathrm {C} dt}}+&{\frac {z'dy'-y'dz'}{\mathrm {B} dt}}+&{\frac {z''dy''-y''dz''}{\mathrm {A} dt}}=&c,\end{alignedat}}\right.$

$a,b,c$ étant des constantes arbitraires.

De plus, si l’on multiplie la première des équations $(\mathrm {A} )$ par ${\frac {dx}{\mathrm {C} }},$ la première des équations $(\mathrm {B} )$ par ${\frac {dx'}{\mathrm {C} }},$ et la première des équations $(\mathrm {C} )$ par