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${\frac {dx''}{\mathrm {A} }},$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura, à cause de $x''=x'-x,$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dxd^{2}x}{\mathrm {C} dt^{2}}}+&{\frac {dx'd^{2}x'}{\mathrm {B} dt^{2}}}+{\frac {dx''d^{2}x''}{\mathrm {A} dt^{2}}}+&(\mathrm {A+B+C} )\left({\frac {xdx}{\mathrm {C} r^{3}}}+{\frac {x'dx'}{\mathrm {B} r'^{3}}}+{\frac {x''dx''}{\mathrm {A} r''^{3}}}\right)=&0.\end{alignedat}}$

On trouvera de même

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dyd^{2}y}{\mathrm {C} dt^{2}}}\,+&{\frac {dy'd^{2}y'}{\mathrm {B} dt^{2}}}+{\frac {dy''d^{2}y''}{\mathrm {A} dt^{2}}}+&(\mathrm {A+B+C} )\left({\frac {ydy}{\mathrm {C} r^{3}}}+{\frac {y'dy'}{\mathrm {B} r'^{3}}}+{\frac {y''dy''}{\mathrm {A} r''^{3}}}\right)=&0,\\{\frac {dzd^{2}z}{\mathrm {C} dt^{2}}}\,+&{\frac {dz'd^{2}z'}{\mathrm {B} dt^{2}}}+{\frac {dz''d^{2}z''}{\mathrm {A} dt^{2}}}+&(\mathrm {A+B+C} )\left({\frac {zdz}{\mathrm {C} r^{3}}}+{\frac {z'dz'}{\mathrm {B} r'^{3}}}+{\frac {z''dz''}{\mathrm {A} r''^{3}}}\right)=&0.\end{alignedat}}$

Donc, ajoutant ensemble ces trois équations et mettant

${\begin{array}{lll}r\ dr&\mathrm {{\grave {a}}\ la\ place\ de} &x\ \ dx\,\ +y\ \ dy\,\ +z\ \ dz,\\r'\,dr'&\mathrm {{\grave {a}}\ la\ place\ de} &x'\,dx'\,+y'\,dy'\,+z'\,dz',\\r''dr''&\mathrm {{\grave {a}}\ la\ place\ de} &x''dx''+y''dy''+z''dz'',\\\end{array}}$

on aura une équation intégrable dont l’intégrale sera

(E)

${\begin{aligned}&{\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\mathrm {C} dt^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}{\mathrm {B} dt^{2}}}+{\frac {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}{\mathrm {A} dt^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad -2(\mathrm {A+B+C} )\left({\frac {1}{\mathrm {C} r}}+{\frac {1}{\mathrm {B} r'}}+{\frac {1}{\mathrm {A} r''}}\right)=f,\end{aligned}}$

$f$ étant une constante arbitraire.

Ce sont là les seules intégrales exactes qu’on ait pu trouver jusqu’à présent ; or, comme il y a en tout six variables, $x,y,z,x',y',z',$ il est clair que, si l’on pouvait trouver encore deux autres intégrales, le problème serait réduit aux premières différences ; mais on ne saurait guère se flatter d’y parvenir dans l’état d’imperfection où est encore l’Analyse.

III.

Supposons, pour abréger,

${\begin{aligned}u^{2}\ =&{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}},\\u'^{2}\,=&{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}},\\u''^{2}=&{\frac {dx''^{2}+dy''^{2}+dz''^{2}}{dt^{2}}},\end{aligned}}$