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en sorte que $u,u',u''$ expriment les vitesses relatives des Corps $\mathrm {B,C}$ autour de $\mathrm {A} ,$ et de $\mathrm {C}$ autour de $\mathrm {B} \,;$ il est clair qu’on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}(r^{2})}{2dt^{2}}}\ =&{\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z}{dt^{2}}}+u^{2},\\{\frac {d^{2}(r'^{2})}{2dt^{2}}}\,=&{\frac {x'd^{2}x'+y'd^{2}y'+z'd^{2}z'}{dt^{2}}}+u'^{2},\\{\frac {d^{2}(r''^{2})}{2dt^{2}}}=&{\frac {x''d^{2}x''+y''d^{2}y''+z''d^{2}z''}{dt^{2}}}+u''^{2}.\end{aligned}}$

Donc, mettant dans ces équations au lieu de

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}},\ldots$

leurs valeurs tirées des équations $\mathrm {(A),(B),(C)} ,$ et faisant attention que

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\quad x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=r'^{2},\quad x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}=r''^{2},$

et

$xx'+yy'+zz'={\frac {r^{2}+r'^{2}-r''^{2}}{2}},$

$x'x''+y'y''+z'z''=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-(x'x+y'y+z'z)={\frac {r'^{2}+r''^{2}-r^{2}}{2}},$

on aura, après avoir fait passer tous les termes du même côté,

(F)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}{\frac {d^{2}(r^{2})}{2dt^{2}}}&+&\left({\frac {\mathrm {A+B} }{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {C} }{r''^{3}}}\right)r^{2}&+&{\frac {\mathrm {C} }{2}}&\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)&\left(r^{2}+r'^{2}-r''^{2}\right)&-&u^{2}=&0,\\{\frac {d^{2}(r'^{2})}{2dt^{2}}}&+&\left({\frac {\mathrm {A+C} }{r'^{3}}}+{\frac {\mathrm {B} }{r''^{3}}}\right)r'^{2}&+&{\frac {\mathrm {B} }{2}}&\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)&\left(r^{2}+r'^{2}-r''^{2}\right)&-&u'^{2}=&0,\\{\frac {d^{2}(r''^{2})}{2dt^{2}}}&+&\left({\frac {\mathrm {B+C} }{r''^{3}}}+{\frac {\mathrm {A} }{r^{3}}}\right)r''^{2}&+&{\frac {\mathrm {A} }{2}}&\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)&\left(r'^{2}+r''^{2}-r^{2}\right)&-&u''^{2}=&0,\end{alignedat}}\right.$

Donc, si l’on peut avoir les valeurs de $u^{2},u'^{2},u''^{2}$ exprimées en $r,r',r''$ seulement, on aura trois équations entre ces trois dernières variables et le temps $t,$ à l’aide desquelles on pourra à chaque instant déterminer la position relative des Corps.