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${\begin{aligned}\alpha \alpha ''&+\beta \beta ''+\gamma \gamma ''\\&=(x'dx'+y'dy'+z'dz')(xx'+yy'+zz')\\&\qquad -(xdx'+ydy'+zdz')\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\\&=p''r'dr'-r'^{2}d\mathrm {V} ',\\\\\alpha '\alpha ''&+\beta '\beta ''+\gamma '\gamma ''\\&=(xdx'+ydy'+zdz')(xx'+yy'+zz')\\&\qquad -(x'dx'+y'dy'+z'dz')\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\&=p''d\mathrm {V} '-r^{2}r'dr'\,;\end{aligned}}$

de sorte que, si l’on carre les trois équations précédentes, et qu’on les ajoute ensuite ensemble, on aura, après avoir multiplié par $\delta ^{2},$ et fait les substitutions convenables,

${\begin{aligned}\delta ^{2}&\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)=\\&\quad \ (rdr)^{2}\left[r'^{2}u'^{2}dt^{2}-(r'dr')^{2}\right]+d\mathrm {V} ^{2}\left(r^{2}u'^{2}dt^{2}-d\mathrm {V} '^{2}\right)\\&+\left(v''dt^{2}\right)^{2}\left(r^{2}r'^{2}-p''^{2}\right)+2rdrd\mathrm {V} \left(r'dr'd\mathrm {V} '-p''u'^{2}dt^{2}\right)\\&+2rdrv''dt^{2}\left(p''r'dr'-r'^{2}d\mathrm {V} '\right)+2d\mathrm {V} v''dt^{2}\left(p''d\mathrm {V} '-r^{2}r'dr'\right).\end{aligned}}$

De même, si l’on prend les trois équations

${\begin{aligned}x\ x\ +\ y\ y\ +\ z\ z\ =&r^{2},\\x'x\ +\ y'y\ +\ z'z\ =&p'',\\xdx'+ydy'+zdz'=&d\mathrm {V} ',\end{aligned}}$

et qu’on en tire les valeurs de $x,y$ et $z,$ il est facile de voir qu’on aura pour $x,y,z$ les mêmes expressions que l’on a trouvées plus haut pour $dx,dy,dz,$ en y changeant seulement $rdr$ en $r^{2},$ $d\mathrm {V}$ en $p''$ et $v''dt^{2}$ en $d\mathrm {V} '\,;$ donc, faisant les mêmes opérations et les mêmes substitutions que ci-dessus, on aura cette autre équation

${\begin{aligned}\delta ^{2}&\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=\\&\quad \ r^{4}\left[r'^{2}u'^{2}dt^{2}-(r'dr')^{2}\right]+p''^{2}\left(r^{2}u'^{2}dt^{2}-d\mathrm {V} '^{2}\right)\\&+d\mathrm {V} '^{2}\left(r^{2}r'^{2}-p''^{2}\right)+2r^{2}p''\left(r'dr'd\mathrm {V} '-p''u'^{2}dt^{2}\right)\\&+2r^{2}d\mathrm {V} '\left(p''r'dr'-r'^{2}d\mathrm {V} '\right)+2p''d\mathrm {V} '\left(p''d\mathrm {V} '-r^{2}r'dr'\right).\end{aligned}}$

Or on a

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=u^{2}dt^{2},\quad {\text{et}}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$