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de sorte qu’on tombe par ce moyen dans une équation où il n’entre plus que les quantités $r^{2},r'^{2},p'',\ldots .$ Pour le prouver de la manière la plus simple qu’il est possible, je prends d’abord les trois équations

${\begin{aligned}x\,\ dx+\ \ y\ dy+\ \ z\ dz=&rdr,\\x'dx+\ \ y'dy+\ \ z'dz=&d\mathrm {V} ,\\dx'dx+dy'dy+dz'dz=&v''dt^{2},\end{aligned}}$

et j’en tire par les règles ordinaires de l’élimination les valeurs de $dx,dy,dz\,;$ j’aurai, en faisant, pour abréger,

${\begin{array}{lll}\alpha =y'dz'-z'dy',&\alpha '=zdy'-ydz',&\alpha ''=yz'-y'z,\\\beta =z'dx'-x'dz',&\beta '=xdz'-zdx',&\beta ''=zx'-z'x,\\\gamma =x'dy'-y'dx',&\gamma '=ydx'-xdy',&\gamma ''=xy'-x'y,\\\end{array}}$

$\delta =x(y'dz'-z'dy')-y(x'dz'-z'dx')+z(x'dy'-y'dx'),$

j’aurai, dis-je,

${\begin{aligned}dx=&{\frac {\alpha rdr+\alpha 'd\mathrm {V} +\alpha ''v''dt^{2}}{\delta }},\\dy=&{\frac {\beta rdr+\beta 'd\mathrm {V} +\beta ''v''dt^{2}}{\delta }},\\dz=&{\frac {\gamma rdr+\gamma 'd\mathrm {V} +\gamma ''v''dt^{2}}{\delta }}.\end{aligned}}$

Or je remarque que l’on a

${\begin{aligned}\alpha ^{2}&+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\\&=\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\left(dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\right)-(x'dx'+y'dy'+z'dz')^{2}\\&=r^{2}u'^{2}dt^{2}-(r'dr')^{2},\\\\\alpha '^{2}&+\beta '^{2}+\gamma '^{2}\\&=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\right)-(xdx'+ydy'+zdz')^{2}\\&=r^{2}u'^{2}dt^{2}-d\mathrm {V} '^{2},\\\\\alpha ''^{2}&+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\\&=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-(xx'+yy'+zz')^{2}\\&=r^{2}r'^{2}-p''^{2},\\\\\alpha \alpha '&+\beta \beta '+\gamma \gamma '\\&=(x'dx'+y'dy'+z'dz')(xdx'+ydy'+zdz')\\&\qquad -(xx'+yy'+zz')\left(dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\right)\\&=r'dr'd\mathrm {V} '-p''u'^{2}dt^{2},\end{aligned}}$