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racines réelles et égales, l’une positive et l’autre négative ; donc, puisque

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {x}{\sqrt {1-x}}}=-{\frac {f+gx^{2}}{a+bx^{2}}},$

on aura au moins une valeur de $\operatorname {tang} \varepsilon ,$ et par conséquent de l’angle $\varepsilon \,;$ et cette valeur étant substituée dans l’expression de \operatorname{tang}\pi ci-dessus, on aura l’angle \pi correspondant. Ayant les angles \varepsilon et $\pi ,$ on aura, comme on le voit, la position du plan cherché de l’équateur par rapport au plan donné de l’écliptique. Si $\mathrm {D} =0$ et $\mathrm {E} =0,$ alors \operatorname{tang}\pi=0, et le plan cherché tomberait dans le plan donné, ce qui est évident, parce que les deux équations

$\int \alpha r^{2}\cos p\sin p\sin q=0,\quad \int \alpha r^{2}\cos p\sin p\cos q=0$

sont analogues aux équations de condition

$\int \alpha r^{2}\cos \mathrm {P\sin P\sin Q'} =0,\quad \int \alpha r^{2}\cos \mathrm {P\sin P\cos Q'} =0\,;$

mais, en reprenant les équations qui résultent immédiatement de ces deux dernières équations et y mettant $\mathrm {D} =0$ et $\mathrm {E} =0,$ on trouve

${\begin{aligned}\sin \pi \cos \pi \mathrm {\left(A\cos ^{2}\varepsilon -2C\sin \varepsilon \cos \varepsilon +B\sin ^{2}\varepsilon -F\right)} =&0,\\\sin \pi \mathrm {\left[(A-B)sin\varepsilon \cos \varepsilon +C\left(\cos ^{2}\varepsilon -\sin ^{2}\varepsilon \right)\right]} =&0,\end{aligned}}$

équations qui, outre la racine $\pi =0,$ donnent encore

$\cos \pi =0,\quad (\mathrm {A-B} )\sin \varepsilon \cos \varepsilon +\mathrm {C} \left(\cos ^{2}\varepsilon -\sin ^{2}\varepsilon \right)=0\,;$

savoir, en faisant $\operatorname {tang} \varepsilon =t,$

$t^{2}+\mathrm {\frac {B-A}{C}} t-1=0,$

dont les deux racines sont nécessairement réelles, à cause du dernier terme négatif ; de là il s’ensuit que si, après avoir trouvé par les équations ci-dessus la position du plan cherché, on regarde maintenant ce