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et il ne restera qu’à satisfaire à ces deux équations

$f\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)=1,\quad la+mb+nc=0.$

Supposons, pour plus de simplicité,

$a=h\cos \alpha ,\quad b=h\sin \alpha \cos \varepsilon ,\quad c=h\sin \alpha \sin \varepsilon \,;$

On aura

$\delta ={\sqrt {g}}={\frac {1}{g}},$

de sorte que

$h={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}},$

et la seconde des deux équations précédentes deviendra

$l\cos \alpha +\sin \alpha (m\cos \varepsilon +n\sin \varepsilon )=0\,;$

soit donc

$l=\sin \alpha \sin \eta ,$

et l’on aura, en faisant pour plus de simplicité $f=1,$

$\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\eta +m^{2}+n^{2}=1,\quad \cos \alpha \sin \eta +m\cos \varepsilon +n\sin \varepsilon =0.$

Donc

$m\cos \varepsilon +n\sin \varepsilon =-\cos \alpha \sin \eta \,;$

donc

${\begin{aligned}m^{2}+n^{2}-(m\cos \varepsilon +n\sin \varepsilon )^{2}=&(m\sin \varepsilon -n\cos \varepsilon )^{2}\\=&1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\eta -\cos ^{2}\alpha \sin ^{2}\eta \\=&1-\sin ^{2}\eta =\cos ^{2}\eta \,;\end{aligned}}$

et, tirant la racine carrée,

$m\sin \varepsilon -n\cos \varepsilon =\cos \eta \,;$

de sorte qu’on aura

${\begin{aligned}m=&\sin \varepsilon \cos \eta -\cos \alpha \cos \varepsilon \sin \eta ,\\n\ =&-\cos \varepsilon \cos \eta -\cos \alpha \sin \varepsilon \sin \eta \,;\end{aligned}}$

et de là on trouvera les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu$ par les formules précédentes.