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On aura d’abord

$g={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;$

ensuite, si l’on chasse $\lambda$ des deux équations

$l\lambda +m\mu +n\nu =0,\quad \lambda a+\mu b+\nu c=0,$

on aura

$(am-bl)\mu +(an-cl)\nu =0,$

et, chassant $\mu ,$ on aura de même

$(bl-am)\lambda +(bn-cm)\nu =0,$

d’où je conclus qu’on aura

$\lambda =(cm-bn)\delta ,\quad \mu =(an-cl)\delta ,\quad \nu =(bl-am)\delta ,$

$\delta$ étant une inconnue qu’on déterminera par l’équation

$f\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)=1,$

laquelle donnera

$f\delta ^{2}\left[(cm-bn)^{2}+(an-cl)^{2}+(bl-am)^{2}\right]=1\,;$

mais on a

$(cm-bn)^{2}+(an-cl)^{2}+(bl-am)^{2}=$

$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)-(al+bm+cn)^{2}={\frac {1}{fg}},$

à cause de

$a^{2}+b^{2}+c^{2}={\frac {1}{g}},\quad l^{2}+m^{2}+n^{2}={\frac {1}{f}},\quad al+bm+cn=0$

par les équations ci-dessus ; donc on aura

${\frac {\delta ^{2}}{g}}=1,\quad \delta ={\sqrt {g}}={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},$