d’où, à cause de l’ambiguïté des signes, on tire
![{\displaystyle -\cos \omega =\lambda \varpi +\mu \nu ,\quad 1+\cos ^{2}\omega =\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\varpi ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a395fccc1fa543a727b7d0dca7b79224d567e7)
de sorte qu’éliminant
on aura
![{\displaystyle 1+(\lambda \varpi +\mu \nu )^{2}=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\varpi ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cea6fff6306b6d750c28c05a9fef27ff334d6c)
Si l’on substitue dans cette équation les valeurs de
comme aussi celles de
et de
on aura une équation qui sera la même que l’équation
de l’Article X ; ce qui peut servir à confirmer la bonté de nos calculs.
L’équation
![{\displaystyle -\cos \omega =\lambda \varpi +\mu \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431fd56d81e1a0488f5129727442f0e98627eed8)
donnera
![{\displaystyle \cos \omega ={\frac {p''v''dt^{2}-d\mathrm {V} d\mathrm {V} '}{r^{2}r'^{2}d\theta id\theta '}}={\frac {\Psi ''}{\sqrt {\Pi \,\Pi '}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984417e66de49a38fa29cf33bafafae688c2354a)
ce qui fera connaître l’inclinaison
des deux orbites.
Connaissant
on connaîtra aisément
et
car, en multipliant les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\xi +\xi ')(1-\cos \omega )=&\lambda +\varpi ,\\\cos(\xi -\xi ')(1+\cos \omega )=&\lambda -\varpi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897485321c5ed0d14dd61d4100862f873307039e)
l’une par l’autre, on aura celle-ci
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(\cos 2\xi +\cos 2\xi ')\sin ^{2}\omega =\lambda ^{2}-\varpi ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409172bbb8ae129652d784fe32d1ffe5968f084e)
et de même les deux autres équations
![{\displaystyle \sin(\xi +\xi ')(1-\cos \omega )=\mu +\nu ,\quad \sin(\xi -\xi ')(1+\cos \omega )=\mu -\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69bcd51f7a5a7f13064241e2d1918f9e0df2aac)
étant multipliées ensemble, donneront
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}(\cos 2\xi -\cos 2\xi ')\sin ^{2}\omega =\mu ^{2}-\nu ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff9deac44a3d66ab6c12f26abac641553fbb1e8)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \cos 2\xi ={\frac {\lambda ^{2}-\varpi ^{2}-\mu ^{2}+\nu ^{2}}{\sin ^{2}\omega }},\quad \cos 2\xi '={\frac {\lambda ^{2}-\varpi ^{2}+\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\sin ^{2}\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7db663e8c6307c2278919b6779a73f52e179f9a)