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ou bien, en mettant, à la place de $\varpi ^{2}$ sa valeur

$1+\cos ^{2}\omega -\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2},$

tirée de l’équation trouvée ci-dessus, on aura, à cause de $\cos ^{2}\omega =1-\sin ^{2}\omega ,$

$\cos 2\xi =1+{\frac {2\left(\lambda ^{2}+\nu ^{2}-1\right)}{\sin ^{2}\omega }},\quad \cos 2\xi '=1+{\frac {2\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}-1\right)}{\sin ^{2}\omega }},$

d’où l’on tire

$\sin \xi ={\frac {\sqrt {1-\lambda ^{2}-\nu ^{2}}}{\sin \omega }},\quad \sin \xi '={\frac {\sqrt {1-\lambda ^{2}-\mu ^{2}}}{\sin \omega }}\,;$

c’est-à-dire, en substituant les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu ,$ et faisant attention que $r^{2}d\theta ^{2}=u^{2}dt^{2}-dr^{2}\quad {\text{et}}\quad r'^{2}d\theta '^{2}=u'^{2}dt^{2}-dr'^{2},$

${\begin{aligned}\sin \xi \,=&{\frac {\sqrt {\left(r^{2}r'^{2}-p''^{2}\right)u'^{2}dt^{2}-r^{2}(r'dr')^{2}+2p''(r'dr')d\mathrm {V} '-r'^{2}d\mathrm {V} '^{2}}}{rr'^{2}\sin \omega d\theta '}},\\\sin \xi '=&{\frac {\sqrt {\left(r^{2}r'^{2}-p''^{2}\right)u^{2}dt^{2}-r'^{2}(rdr)^{2}+2p''(rdr)d\mathrm {V} -r^{2}d\mathrm {V} ^{2}}}{r'r^{2}\sin \omega d\theta }},\end{aligned}}$

ou bien (Article XII)

${\begin{aligned}\sin \xi \,=&{\frac {\sqrt {4(pp'+pp''+p'p'')u'^{2}-\Sigma '}}{2r{\sqrt {\Pi '}}\sin \omega }},\\\sin \xi '=&{\frac {\sqrt {4(pp'+pp''+p'p'')u^{2}-\Sigma }}{2r'{\sqrt {\Pi }}\sin \omega }}.\end{aligned}}$

XXI.

Si l’on veut que les trois Corps se meuvent dans un même plan, on aura alors $\omega =0,$ et par conséquents $\cos \omega =1$ et $\sin \theta =0\,;$ donc

$\Sigma =4(pp'+pp''+p'p'')u^{2},\quad \Sigma '=4(pp'+pp''+p'p'')u'^{2},$

et par analogie

$\Sigma ''=4(pp'+pp''+p'p'')u''^{2}.$

De sorte que les quantités $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z} '$ (Article XIV) seront nulles, et par conséquent les mouvements des trois Corps s’exécuteront dans le même