Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/277

par conséquent

$h=\mathrm {\left({\frac {1}{C}}+{\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} ru\,;$

donc

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {d\varphi '}{dt}}={\frac {u}{r}}={\sqrt {\frac {\mathrm {A+B+C} }{r^{3}}}}.$

Ainsi les Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ne feront que tourner autour du Corps $\mathrm {A}$ avec une vitesse angulaire constante et égale à ${\sqrt {\frac {\mathrm {A+B+C} }{r^{3}}}}.$

XXVI.

Examinons maintenant l’autre cas, où ${\frac {d\rho }{dt}}=0$ sans que $q,q',q''$ soient nuls, et substituons d’abord dans les équations $(\mathrm {J} )$ les valeurs de $\mathrm {CQ} ,\mathrm {BQ} '$ et $\mathrm {AQ} ''$ tirées des équations $(a)$ ci-dessus ; on aura

$(b)\quad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}u^{2}\ \,=&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r}}-\mathrm {C} (p'q'-p''q''),\\u'^{2}\,=&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r'}}-\mathrm {B} (pq+p''q''),\\u''^{2}=&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r''}}-\mathrm {A} (-pq-p'q')\,;\end{aligned}}\right.$

d’où l’on voit que les vitesses relatives des Corps seront aussi constantes, mais non pas égales entre elles comme dans le cas précédent.

Or, puisqu’il faut que ${\frac {d\rho }{dt}}=0,$ on aura donc aussi ${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}=0,$ et l’équation $(\mathrm {H} )$ deviendra

$(c)\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {C} pq-\mathrm {B} p'q'-\mathrm {A} p''q''=0.$

Ensuite l’équation $(\mathrm {N} )$ deviendra (à cause de $dr=0,$ $dr'=0,\ dr''=0,$ et $dp=0,\ dp'=0,\ dp''=0,\ d\rho =0$)

$16\mathrm {PU} =0,$

savoir

$\mathrm {P} =0,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {U} =0\,;$