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ainsi, en combinant l’une ou l’autre de ces équations avec l’équation précédente $(c),$ on pourra, par leur moyen, déterminer deux quelconques des trois indéterminées $r,r',r'',$ et le Problème sera résolu.

Supposons d’abord $\mathrm {P} =0,$ on aura

$(r+r'+r'')(r+r'-r'')(r-r'+r'')(r-r'-r'')=0\,;$

donc, puisque $r,r',r''$ sont supposées positives, on aura ces équations

$r+r'-r''=0,\quad {\text{ou}}\quad r-r'+r''=0,\quad {\text{ou}}\quad r-r'-r''=0,$

d’où l’on tire

$r''=r+r',\quad {\text{ou}}\quad r'=r+r'',\quad {\text{ou}}\quad r=r'+r''\,;$

c’est-à-dire, que l’une des trois distances doit être égale à la somme des deux autres, ce qui montre que les trois Corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite.

Imaginons que les trois Corps $\mathrm {A,B,C}$ soient rangés de suite dans la même direction, en sorte que l’on ait

$r''=r'-r,$

et, faisant pour plus de simplicité $r'=mr,$ il n’y aura qu’à substituer dans l’équation $(c)$ $mr$ à la place de $r',$ et $(m-1)r$ à la place de $r''\,;$ l’inconnue $r$ s’en ira, et l’on aura une équation qui servira à déterminer $m.$ On trouvera donc

${\begin{aligned}p\ \,=&{\frac {m^{2}+(m-1)^{2}-1}{2}}r^{2}=\left(m^{2}-m\right)r^{2},\\p'\,=&{\frac {1+(m-1)^{2}-m^{2}}{2}}r^{2}=(1-m)r^{2},\\p''=&{\frac {1+m^{2}-(m-1)^{2}}{2}}r^{2}=mr^{2},\\\\q\ \,=&\left[{\frac {1}{m^{3}}}-{\frac {1}{(m-1)^{3}}}\right]{\frac {1}{r^{3}}}=-{\frac {3m^{2}-3m+1}{m^{3}(m-1)^{3}}}{\frac {1}{r^{3}}},\\q'\,=&\left[1-{\frac {1}{(m-1)^{3}}}\right]{\frac {1}{r^{3}}}={\frac {m^{3}-3m^{2}+3m}{(m-1)^{3}}}{\frac {1}{r^{2}}},\\q''=&\left({\frac {1}{m^{3}}}-1\right){\frac {1}{r^{3}}}={\frac {1-m^{3}}{m^{3}}}{\frac {1}{r^{3}}}\,;\end{aligned}}$