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mais

$\mathrm {C} pg-\mathrm {B} p'q'-\mathrm {A} p''q''=0$

par l’équation $(c)\,;$ donc on aura simplement

$r'^{2}u^{2}-r^{2}u'^{2}=(-\mathrm {C} q+\mathrm {B} q'-\mathrm {A} q'')\mathrm {P} ,$

et l’on trouvera de même par analogie

${\begin{aligned}r''^{2}u^{2}-r^{2}\ u''^{2}=&(\mathrm {C} q+\mathrm {B} q'-\mathrm {A} q'')\mathrm {P} ,\\r''^{2}u'^{2}-r'^{2}u''^{2}=&(\mathrm {C} q+\mathrm {B} q'+\mathrm {A} q'')\mathrm {P} ,\end{aligned}}$

d’où il est facile de tirer

$p''u^{2}-r^{2}v''=-\mathrm {C} q\mathrm {P} ,\quad p''u'^{2}-r'^{2}v''=-\mathrm {B} q'\mathrm {P} ,$

et par conséquent

$v''={\frac {p''u^{2}+\mathrm {C} q\mathrm {P} }{r^{2}}}={\frac {p''u'^{2}+\mathrm {B} q'\mathrm {P} }{r'^{2}}}\,;$

donc

$v''^{2}={\frac {p''^{2}u^{2}u'^{2}+p''\mathrm {P} \left(\mathrm {B} q'u^{2}+\mathrm {C} qu'^{2}\right)+\mathrm {BC} qq'\mathrm {P} ^{2}}{r^{2}r'^{2}}},$

et de là, à cause de $\mathrm {P} =r^{2}r'^{2}-p''^{2},$

${\begin{aligned}\mathrm {U} =u^{2}u'^{2}-v''^{2}=&{\frac {\mathrm {P} }{r^{2}r'^{2}}}\left[u^{2}u'^{2}-p''\left(\mathrm {B} q'u^{2}+\mathrm {C} qu'^{2}\right)-\mathrm {BC} qq'\mathrm {P} \right]\\=&{\frac {\mathrm {P} }{r^{2}r'^{2}}}\left[\left(u^{2}-\mathrm {C} qp''\right)\left(u'^{2}-\mathrm {B} q'p''\right)-\mathrm {BC} r^{2}r'^{2}qq'\right].\end{aligned}}$

Mais les mêmes équations $(b)$ donnent

${\begin{aligned}u^{2}\,-\mathrm {C} q\ p''=&\left({\frac {\mathrm {A+B} }{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {C} }{r''^{3}}}\right)r^{2},\\u'^{2}-\mathrm {B} q'p''=&\left({\frac {\mathrm {A+C} }{r'^{3}}}+{\frac {\mathrm {B} }{r''^{3}}}\right)r'^{2}\,;\end{aligned}}$

donc, en substituant ces valeurs aussi bien que celles de $q$ et $q',$ on aura

$\mathrm {U=P} \left[\left({\frac {\mathrm {A+B} }{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {C} }{r''^{3}}}\right)\left({\frac {\mathrm {A+C} }{r'^{3}}}+{\frac {\mathrm {B} }{r''^{3}}}\right)-\mathrm {BC} \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)\right],$