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donc aussi

$v=kp,\quad v'=kp',\quad v''=kp''.$

Ainsi on aura (Article XXII)

${\begin{alignedat}{3}\Pi =&kr^{4},\qquad &\Pi '=&kr'^{4},\qquad &\Pi ''=&kr''^{4},\\\Psi =&kp^{2},&\Psi '=&kp'^{2},&\Psi ''=&kp''^{2}\,;\end{alignedat}}$

mais, à cause de $\mathrm {P} =0,$ on a

$p^{2}=r'^{2}r''^{2},\quad p'^{2}=r^{2}r''^{2},\quad p''^{2}=r^{2}r'^{2}\,;$

donc

$\Psi =kr'^{2}r''^{2},\quad \Psi '=kr^{2}r''^{2},\quad \Psi ''=kr^{2}r'^{2}\,;$

donc l’équation $(\mathrm {P} )$ deviendra

$h^{2}=k\left({\frac {r^{2}}{\mathrm {C} }}+{\frac {r'^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {r''^{2}}{\mathrm {A} }}\right)^{2},$

d’où

$h=\left({\frac {r^{2}}{\mathrm {C} }}+{\frac {r'^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {r''^{2}}{\mathrm {A} }}\right){\sqrt {k}}\,;$

ensuite, à cause de $\psi =0$ et $\psi '=0,$

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {d\varphi '}{dt}}={\frac {k}{h}}\left({\frac {r^{2}}{\mathrm {C} }}+{\frac {r'^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {r''^{2}}{\mathrm {A} }}\right)={\sqrt {k}}.$

XXIX.

Nous avons supposé ci-dessus que les rayons $r,r',r''$ étaient constants, et nous avons vu que cela ne peut avoir lieu que dans deux cas, savoir lorsque ces trois rayons sont égaux entre eux, et lorsque l’un d’eux est égal à la somme des deux autres. Supposons maintenant que ces trois rayons soient seulement dans un rapport constant entre eux, et voyons dans quel cas cette condition pourra avoir lieu. Soit donc

$r'=mr,\quad r''=nr,$