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$m$ et $n$ étant des quantités constantes, et l’on aura d’abord (Article XXII)

${\begin{alignedat}{3}p=&\mu r^{2},\qquad &p'=&\mu 'r^{2},\qquad &p''=&\mu ''r^{2},\\q=&{\frac {\varpi }{r^{3}}},&q'=&{\frac {\varpi '}{r^{3}}},&q''=&{\frac {\varpi ''}{r^{3}}},\end{alignedat}}$

en faisant, pour abréger,

$\mu ={\frac {m^{2}+n^{2}-1}{2}},\quad \mu '={\frac {1+n^{2}-m^{2}}{2}},\quad \mu ''={\frac {1+m^{2}-n^{2}}{2}},$

$\varpi ={\frac {1}{m^{3}}}-{\frac {1}{n^{3}}},\quad \varpi '=1-{\frac {1}{n^{3}}},\quad \varpi ''={\frac {1}{m^{3}}}-1=\varpi -\varpi '.$

Donc l’équation $(\mathrm {H} )$ deviendra

${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {C\mu \varpi -B\mu '\varpi '-A\mu ''\varpi ''} }{r}}=0,$

ou bien, en faisant

$\lambda =\mathrm {C\mu \varpi -B\mu '\varpi '-A\mu ''\varpi ''} ,$

pour abréger,

${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}+{\frac {\lambda }{r}}=0,$

et intégrant

${\frac {d\rho }{dt}}=\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}},$

$\alpha$ étant une constante arbitraire égale à la valeur de ${\frac {d\rho }{dt}}$ lorsque $t=0.$

Ensuite on aura

${\begin{aligned}d\mathrm {Q} \ \,=&2(\mu '\varpi '-\mu ''\varpi ''){\frac {dr}{r^{2}}}-\varpi \ \,\left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}},\\d\mathrm {Q} '\,=&2(\mu \varpi \ \ \,+\mu ''\varpi ''){\frac {dr}{r^{2}}}+\varpi '\,\left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}},\\d\mathrm {Q} ''=&2(-\mu \varpi -\mu '\varpi '\ ){\frac {dr}{r^{2}}}+\varpi ''\left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}\,;\end{aligned}}$