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donc, substituant cette valeur et résolvant l’équation, il viendra

$dt={\frac {rdr}{\sqrt {-{\cfrac {\alpha ^{2}}{3}}+2(\mathrm {A+B+C} )r+fr^{2}}}}.$

Comparant donc cette équation avec la précédente, on aura

$\mathrm {H} =-{\frac {\alpha ^{2}}{3}},$

et par conséquent

$\alpha ={\sqrt {-3\mathrm {H} }}\,;$

d’où l’on voit que $\mathrm {H}$ doit être nécessairement une quantité négative.

On aura ensuite

$\Pi =\Pi '=\Pi ''=r^{2}u^{2}-\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{3}},$

et

$\Psi =\Psi '=\Psi ''={\frac {r^{2}u^{2}}{4}}-\left({\frac {rdr}{2dt}}\right)^{2}+\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{4.3}}+{\frac {\alpha ^{2}}{4}}={\frac {\alpha ^{2}}{3}}\,;$

donc l’équation $(\mathrm {P} )$ deviendra

${\frac {\alpha ^{2}}{3}}\mathrm {\left({\frac {1}{C}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{A}}\right)} ^{2}=h^{2},$

d’où l’on tire

$h={\frac {\alpha }{\sqrt {3}}}\mathrm {\left({\frac {1}{C}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{A}}\right)} .$

Or, puisqu’on a déjà trouvé

$\Sigma =\Sigma '=\Sigma ''=3r^{2}\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\alpha ^{2},$

et que

$3r^{2}u^{2}-3\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}-\alpha ^{2}=0,$

on aura

$\Sigma =\Sigma '=\Sigma ''=3r^{4}u^{2}\,;$