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et cette constante $\alpha$ devra être déterminée en sorte qu’elle satisfasse à l’équation $(\mathrm {N} )\,;$ on peut donner pour cela à $t$ telle valeur qu’on voudra ; mais, en ne faisant aucune supposition particulière, l’équation $(\mathrm {N} )$ devra être identique avec celle que nous avons trouvée ci-dessus pour la détermination de $r,$ et leur comparaison donnera la valeur de $\alpha .$

En effet, à cause de $r=r'=r'',$ on aura

$p=p'=p''={\frac {r^{2}}{2}}\,;$

donc

$\mathrm {P} ={\frac {3r^{4}}{4}}\,;$

et de même, à cause de $u=u'=u'',$ on aura

$v=v'=v''={\frac {u^{2}}{2}}\,;$

donc

$\mathrm {U} ={\frac {3u^{4}}{4}}\,;$

ensuite

$\Sigma =\Sigma '=\Sigma ''={\frac {r^{2}}{2}}\left({\frac {2rdr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\alpha ^{2}=3r^{2}\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\alpha ^{2}$

et l’équation $(\mathrm {N} )$ deviendra

$9r^{4}u^{4}-6u^{2}\left[3r^{2}\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\alpha ^{2}\right]+\left[3\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}+\alpha ^{2}\right]^{2}=0,$

ou bien

$\left[3r^{2}u^{2}-3\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}-\alpha ^{2}\right]^{2}=0\,;$

d’où l’on tire

$3r^{2}u^{2}-3\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}-\alpha ^{2}=0.$

Or on a déjà trouvé

$u^{2}={\frac {2(\mathrm {A+B+C} )}{r}}+f\,;$