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XXXI.

Reste à examiner le cas où $\alpha =0$ et $\lambda =0\,;$ or la supposition de $\lambda =0$ réduit d’abord les équations $(e)$ à celles-ci

$(\mathrm {-C\varpi +B\varpi '-A\varpi ''} )\delta =0,\quad (\mathrm {C\varpi +B\varpi '-A\varpi ''} )\delta =0,$

lesquelles donnent ou

$\delta =0,$

ou bien

$\mathrm {-C\varpi +B\varpi '-A\varpi ''} =0,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {C\varpi +B\varpi '-A\varpi ''} =0,$

c’est-à-dire,

$\mathrm {C} \varpi =0,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B\varpi '-A\varpi ''} =0.$

Or j’observe d’abord que ces deux dernières équations sont inutiles ; car on aurait d’abord $\varpi =0,$ ensuite, à cause de $\varpi ''=\varpi -\varpi ',$ on aurait $\varpi ''=-\varpi '\,;$ de sorte que l’équation $\mathrm {B\varpi '-A\varpi ''} =0$ deviendrait $(\mathrm {B+A} )\varpi '=0,$ ce qui donnera $\varpi '=0\,;$ on aurait donc $\varpi =\varpi '=\varpi ''=0,$ ce qui rentre dans le cas que nous avons examiné ci-dessus.

Il faut donc faire $\delta =0,$ de sorte que la solution du Problème sera renfermée dans ces trois équations

$\delta =0,\quad \lambda =0,\quad \alpha =0.$

La première donnera (Article XXIX)

$(1+m+n)(1+m-n)(1-m+n)(1-m-n)=0\,;$

donc

$1\pm m\pm n=0,$

et par conséquent

$r\pm r'\pm r''=0,$

c’est-à-dire, que l’une des trois distances $r,r',r''$ doit être égale à la somme des deux autres, et conséquemment que les trois Corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite.

Ce cas est donc analogue à celui de l’Article XXVI mais il est plus