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général, en ce que les distances entre les Corps peuvent être variables, pourvu que leurs rapports soient constants.

On déterminera ces rapports par l’équation $\lambda =0,$ et pour cela on pourra supposer, comme dans l’Article cité, que les trois Corps $\mathrm {A,B,C}$ soient disposés de suite dans une même ligne droite, en sorte que $r''=r'-r,$ ce qui donnera $n=m-1\,;$ on substituera donc cette valeur de $n$ dans l’expression de $\lambda$ de l’Article XXIX et l’on aura une équation en $m$ qui sera la même que l’équation $(d)$ de l’Article XXVI. Mais il faut voir encore si la condition de $\alpha =0$ peut avoir lieu ; et comme la constante $\alpha$ doit être déterminée par l’équation $(\mathrm {N} )$, tout se réduit à savoir si cette équation peut subsister en y faisant $\alpha =0,$ c’est-à-dire, ${\frac {d\rho }{dt}}=0,$ à cause de ${\frac {d\rho }{dt}}=\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}$ (Article XXIX) et de $\lambda =0.$

Or, en supposant ${\frac {d\rho }{dt}}=0,$ et substituant pour $r',r''$ et $p,p',p''$ leurs valeurs (Article cité), on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} \ \,=&(\mu \mu '+\mu \mu ''+\mu '\mu '')r^{4},\\\Sigma \ \,=&\left(\mu \quad +\mu '\mu ''^{2}+\mu ''\mu '^{2}\right)r^{2}\left({\frac {2rdr}{dt}}\right)^{2},\\\Sigma '\,=&\left(\mu 'm^{4}+\mu \mu ''^{2}+\mu ''\mu ^{2}\right)r^{2}\left({\frac {2rdr}{dt}}\right)^{2},\\\Sigma ''=&\left(\mu ''n^{4}\ +\mu '\mu ^{2}\,+\mu \mu '^{2}\right)r^{2}\left({\frac {2rdr}{dt}}\right)^{2},\end{aligned}}$

${\frac {dpdp'+dpdp''+dp'dp''+d\rho ^{2}}{dt^{2}}}=(\mu \mu '+\mu \mu ''+\mu '\mu '')\left({\frac {2rdr}{dt}}\right)^{2}\,;$

mais, par la nature des quantités $\mu ,\mu ',\mu '',$ on a

$\mu '+\mu ''=1,\quad \mu +\mu ''=m^{2},\quad \mu +\mu '=n^{2}\,;$

de plus, on a, en vertu de l’équation $\delta =0,$

$\mu \mu '+\mu \mu ''+\mu '\mu ''=0\,;$

donc on aura aussi

$\mu +\mu '\mu ''^{2}+\mu ''\mu '^{2}=0,\quad \mu 'm^{4}+\mu \mu ''^{2}+\mu ''\mu ^{2}=0,\quad \mu ''n^{4}+\mu '\mu ^{2}+\mu \mu '^{2}=0\,;$