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De là on trouvera

${\begin{aligned}\Pi \ \,=&2\mathrm {F} r+fr^{2}-\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}=-\mathrm {H} ,\\\Pi '\,=&m^{4}\left[2\mathrm {F} r+fr^{2}-\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}\right]=-\mathrm {H} m^{4},\\\Pi ''=&-\mathrm {H} n^{4},\\\\\Psi \ \,=&\mu ^{2}\left[2\mathrm {F} r+fr^{2}-\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}\right]=-\mathrm {H} \mu ^{2}=-\mathrm {H} m^{2}n^{2},\\\Psi '\,=&-\mathrm {H} \mu '^{2}\,=-\mathrm {H} n^{2},\\\Psi ''=&-\mathrm {H} \mu ''^{2}=-\mathrm {H} m^{2},\end{aligned}}$

à cause de

$\mu \mu '+\mu \mu ''+\mu '\mu ''=0,$

et par conséquent

$\mu ^{2}=m^{2}n^{2},\quad \mu '^{2}=n^{2},\quad \mu ''^{2}=m^{2}.$

Donc, si l’on substitue ces valeurs dans l’équation $(\mathrm {P} )$, elle deviendra

$h^{2}=-\mathrm {H} \left({\frac {1}{\mathrm {C} }}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {n^{2}}{\mathrm {A} }}\right)^{2},$

d’où

$h=\left({\frac {1}{\mathrm {C} }}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {n^{2}}{\mathrm {A} }}\right){\sqrt {-\mathrm {H} }},$

d’où l’on voit que $\mathrm {H}$ doit être une quantité négative.

Or, à cause de $\mathrm {P} =0$ et de $\Sigma =0,\ \Sigma '=0,\ \Sigma ''=0,$ on aura

$\sin \psi =0\quad {\text{et}}\quad \sin \psi '=0.$

ce qui montre que les deux Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le Corps $\mathrm {A} ,$ et l’on trouvera ensuite pour les angles de rotation

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {d\varphi '}{dt}}={\frac {-\mathrm {H} }{hr^{2}}}\left({\frac {1}{\mathrm {C} }}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {n^{2}}{\mathrm {A} }}\right)={\frac {\sqrt {-\mathrm {H} }}{r^{2}}}.$