Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/295

CHAPITRE III.

MODIFICATION DES FORMULES DU CHAPITRE PREMIER, POUR LE CAS OÙ L’ON SUPPOSE QUE L’UN DES TROIS CORPS SOIT ÉLOIGNÉ DES DEUX AUTRES.

XXXIV.

Le cas que nous allons examiner a lieu dans le Système du monde, par rapport à ces trois Planètes, le Soleil, la Terre et la Lune, dont les deux dernières sont beaucoup plus éloignées de la première qu’elles ne le sont l’une de l’autre ; mais nous ne considérons ici le cas dont il s’agit que d’une manière générale, et seulement pour voir quelles modifications cette supposition doit apporter aux formules générales de l’Article XXII.

Supposons donc que le Corps $\mathrm {C}$ soit beaucoup plus éloigné des Corps $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ que ceux-ci ne le sont entre eux, en sorte que les quantités $r'$ et $r''$ soient fort grandes par rapport à la quantité $r\,;$ pour cela nous prendrons une quantité $i,$ que nous supposerons constante et très-petite, et nous ferons

$r'={\frac {\mathrm {R} }{i}},\quad r''={\frac {\mathrm {R} '}{i}},$

en sorte que $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ soient des quantités finies et comparables à $r.$ Or, si l’on nomme, comme dans l’Article XIX, $\zeta ''$ l’angle formé au centre du Corps $\mathrm {A}$ par les rayons vecteurs $r$ et $r'$ des Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ on aura

$\cos \zeta ''={\frac {r^{2}+r'^{2}-r''^{2}}{2r'r}},$

d’où

$r''^{2}=r'^{2}-2r'r\cos \zeta ''+r^{2},$

ou bien

$\mathrm {R} '^{2}=\mathrm {R} ^{2}-2i\mathrm {R} r\cos \zeta ''+i^{2}r^{2}.$

Donc, si l’on fait

$z=r\cos \zeta '',$

on aura

$\mathrm {R} '^{2}=\mathrm {R} ^{2}-2i\mathrm {R} z+i^{2}r^{2}\,;$