Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/303

et que l’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\varpi =&{\frac {\mathrm {NR} z}{2}}-\left({\frac {d(\mathrm {R} z)}{2dt}}\right)^{2}+{\frac {\sigma ^{2}}{4}},\\\varepsilon \ =&{\frac {\mathrm {BR} z}{2r}}-{\frac {3\mathrm {D} \left(3z^{2}-r^{2}\right)z}{4\mathrm {R} ^{2}}},\\\eta \,=&-\mathrm {LR} z-{\frac {\mathrm {N} r^{2}}{2}}+{\frac {d(\mathrm {R} z)d\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}},\\\rho \ =&\mathrm {MR} ^{2}-\left({\frac {d\left(\mathrm {R} ^{2}\right)}{2dt}}\right)^{2},\\\nu \,=&-\mathrm {MR} z-{\frac {\mathrm {NR} ^{2}}{2}}+{\frac {d\left(\mathrm {R} ^{2}\right)d(\mathrm {R} z)}{2dt^{2}}},\end{aligned}}$

on aura

$(m)\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}\,=&{\frac {\varpi +i\left(\varepsilon +\mathrm {\cfrac {B}{A+B}} \eta \right)}{kr^{2}\cos ^{2}\psi }},\\{\frac {d\varphi '}{dt}}=&{\frac {\rho +{\cfrac {i\mathrm {B} }{\mathrm {A+B} }}\left({\cfrac {\mathrm {BR} ^{3}z}{r^{3}}}+\nu \right)}{k\mathrm {R} ^{2}\cos ^{2}\psi '}}.\end{aligned}}\right.$

XXXVIII.

Voyons maintenant comment on doit déterminer la constante $k$ et les autres constantes du Problème. Pour cela, on supposera, comme dans l’Article XXII que, lorsque $t=0,$ on ait

${\frac {dr}{dt}}=0,\quad {\frac {dr'}{dt}}=0,\quad \zeta ''=0\,;$

par conséquent

${\frac {dr}{dt}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0,\quad z=r,\quad {\frac {dz}{dt}}=0,$

à cause de $z=r\cos \zeta ''\,;$ et l’équation $(\mathrm {P} ')$ de l’Article cité donnera

$(n)\qquad \qquad \qquad k^{2}=\mathrm {MR} ^{2}+i\mathrm {B} \left({\frac {\mathrm {R} ^{3}}{r^{2}}}-{\frac {2\mathrm {MR} r+\mathrm {NR} ^{2}}{\mathrm {A+B} }}\right),$