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d’où l’on tirera aisément la valeur de $k,$ en ayant soin de rapporter les valeurs de $\mathrm {R} ,r$ et de $\mathrm {M,N}$ au point où $t=0.$

De plus on se souviendra que la valeur de $\sigma$ doit être prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque $t=0$.

XXXIX.

Au reste il est bon de remarquer que, dès que l’on aura trouvé les latitudes $\psi$ et $\psi ',$ on pourra avoir aisément les valeurs des vitesses en longitude ${\frac {d\varphi }{dt}}$ et ${\frac {d\varphi '}{dt}}$ par le moyen des vitesses réelles $u$ et $u'.$

En effet, nommant $d\theta$ l’angle décrit par le rayon $r$ dans le temps $dt,$ on aura, comme nous l’avons vu dans l’Article XIX

$u^{2}dt^{2}=r^{2}d\theta ^{2}+dr^{2}\,;$

or il est facile de voir que

$d\theta ^{2}=\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\,;$

donc

$u^{2}dt^{2}=r^{2}\cos ^{2}w\delta \varphi ^{2}+r^{2}d\psi ^{2}+dr^{2},$

donc

$(m')\quad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}\,=&{\frac {\sqrt {{\cfrac {u^{2}}{r^{2}}}-\left({\cfrac {d\psi }{dt}}\right)^{2}-\left({\cfrac {dr}{rdt}}\right)^{2}}}{\cos \psi }},\\\mathrm {et\ de} &\mathrm {\ m{\hat {e}}me} \\{\frac {d\varphi '}{dt}}=&{\frac {\sqrt {{\cfrac {u'^{2}}{r'^{2}}}-\left({\cfrac {d\psi '}{dt}}\right)^{2}-\left({\cfrac {dr'}{rdt}}\right)^{2}}}{\cos \psi '}}\,;\end{aligned}}\right.$

donc, en substituant les valeurs de $u^{2}$ et $u'^{2},$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}\,=&{\frac {\sqrt {{\cfrac {\mathrm {L} }{r^{2}}}-{\cfrac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}}-\left({\cfrac {dr}{rdt}}\right)^{2}-{\cfrac {i\mathrm {D} \left(15z^{3}-9r^{2}z\right)}{2\mathrm {R} ^{4}r^{2}}}}}{\cos \psi }},\\{\frac {d\varphi '}{dt}}=&{\frac {\sqrt {\mathrm {\cfrac {M}{R^{2}}} -{\cfrac {d\psi '^{2}}{dt^{2}}}-\left({\cfrac {d\mathrm {R} }{\mathrm {R} dt}}\right)^{2}+{\cfrac {i\mathrm {B} z}{\mathrm {R} r^{3}}}}}{\cos \psi '}}.\end{aligned}}$