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on aura

$\mathrm {B} ={\text{ϐ}}\mathrm {D} ={\text{ϐ}}\alpha ^{2}\,;$

ainsi les quantités $\mathrm {B}$ et $\mathrm {D}$ seront à peu près du même ordre $i$.

Au reste, pour ce qui regarde la vraie valeur de $\alpha ,$ il faudra la déterminer par le rapport connu entre le mouvement moyen du Soleil et celui de la Lune, rapport qui est, suivant les nouvelles Tables de M. Mayer, de

$11^{\text{S}}29^{\circ }45'40''{,}7\quad$à$\quad 160^{\text{S}}9^{\circ }23'5''{\frac {1}{2}}.$

Quant au coefficient ${\text{ϐ}},$ qui est encore assez incertain, comme il se trouve partout multiplié par les coefficients très-petits $\alpha ^{2}$ et $i,$ il suffira de le connaître à peu près, puisque l’erreur qui en pourrait résulter ne serait que de l’ordre de $i^{2}.$

XLI.

On fera donc toutes ces substitutions dans les formules $(f),(g),(h),(i)$ du Chapitre précédent, et, mettant pour plus de simplicité $\scriptstyle \mathrm {Y}$ il la place de $\mathrm {R} z,$ on aura

${\begin{aligned}(p)\ \ \quad {\frac {d\sigma }{dt}}=&\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {x} )^{-{\frac {5}{2}}}-3\alpha ^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}\\&-i\alpha ^{2}\left[{\text{ϐ}}(1+\mathrm {x} )^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {9}{2}}\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}-{\frac {3}{2}}(1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}\right]\\&-i^{2}\alpha ^{2}\left[10\scriptstyle \mathrm {Y} ^{3}\displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {7}{2}}}-6\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}\right]-\ldots ,\\\\(q)\quad {\frac {d^{2}\mathrm {x} }{2dt^{2}}}-&(1+\mathrm {x} )^{-{\frac {1}{2}}}\\-&\ \alpha ^{2}\ \left\{{\begin{aligned}&3\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}-(1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}\\&-\int (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}d\mathrm {x} +3\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}(d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle -\sigma dt)\end{aligned}}\right\}\\-&i\alpha ^{2}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {15}{2}}\scriptstyle \mathrm {Y} ^{3}\displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {7}{2}}}-{\frac {9}{2}}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}\\&-3\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}d\mathrm {x} +{\frac {15}{2}}\int \scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}(d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle -\sigma dt)\\&-{\frac {3}{2}}\int (1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}(d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle -\sigma dt)\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$