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moyennant quoi on aura

$(t)\quad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sin \psi \,=&{\frac {(1+\mathrm {x} )^{-{\frac {1}{2}}}}{k}}\left({\sqrt {\lambda }}-{\frac {i{\text{ϐ}}\alpha ^{2}}{2}}{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right),\\\sin \psi '=&{\frac {i{\text{ϐ}}\alpha ^{2}(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\lambda }}}{k}}\,;\end{aligned}}\right.$

enfin les formules de l’Article XXXIX donneront

$(u)\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}\,=&{\frac {1}{\cos \psi }}{\sqrt {\begin{aligned}&\mathrm {L} (1+\mathrm {x} )^{-1}-(1+\mathrm {x} )^{-2}{\frac {d\mathrm {x} ^{2}}{4dt^{2}}}-{\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}}\\&-i\alpha ^{2}\left[{\frac {15}{2}}\scriptstyle \mathrm {Y} ^{3}\displaystyle (1+\mathrm {x} )^{-1}(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {7}{2}}}-{\frac {9}{2}}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}\right],\end{aligned}}}\\{\frac {d\varphi '}{dt}}=&{\frac {1}{\cos \psi '}}{\sqrt {\begin{aligned}&\mathrm {M} (1+\mathrm {X} )^{-1}-(1+\mathrm {X} )^{-2}{\frac {d\mathrm {X} ^{2}}{4dt^{2}}}-{\frac {d\psi '^{2}}{dt^{2}}}\\&+i{\text{ϐ}}\alpha ^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-1}(1+\mathrm {x} )^{-{\frac {3}{2}}}\,;\end{aligned}}}\end{aligned}}\right.$

et quant à la constante $k,$ on la déterminera par l’équation

$(x)\quad k^{2}=\mathrm {M} \left(1+\mathrm {X} -2\alpha ^{2}{\text{ϐ}}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle \right)+i\alpha ^{2}{\text{ϐ}}(1+\mathrm {X} )\left[(1+\mathrm {x} )^{-{\frac {3}{2}}}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle -\mathrm {N} \right],$

en y faisant $t=0.$

On se souviendra au reste que les valeurs de $\mathrm {x,X}$ et $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ doivent être prises en sorte que ${\frac {d\mathrm {x} }{dt}},{\frac {d\mathrm {X} }{dy}},{\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}$ soient nulles lorsque $t=0,$ et que $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ devienne alors

$\mathrm {R} r=(1+\mathrm {x} )^{\frac {1}{2}}(1+\mathrm {X} )^{\frac {1}{2}}\,;$

de plus il faudra aussi que la valeur de $\sigma$irée par l’intégration de l’équation $(p)$ soit telle, qu’elle s’évanouisse lorsque $t=0.$

§ II. — De l’intégration des équations qui donnent les mouvements
de la Lune et du Soleil.

XLIII.

Le Problème des mouvements de la Lune et du Soleil se réduit à la recherche des quantités $\mathrm {x,X}$ et $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle ,$ lesquelles dépendent de l’intégration des équations $(q),(r),(s)$ de l’Article XLI, à quoi il faut joindre l’équa-