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tion $(p)$ comme subsidiaire. Si les variables $\mathrm {x,X} ,\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ ne se trouvaient dans les équations que sous la forme linéaire, l’intégration serait facile par les méthodes connues ; or il est aisé de voir que les termes où ces variables se trouvent multipliées entre elles sont tous fort petits, à cause que les coefficients $\alpha ^{2}$ et $i$ sont très-petits et que les variables $\mathrm {x}$ et $\mathrm {X}$ sont aussi supposées fort petites ; ainsi l’on pourra d’abord négliger les termes dont nous venons de parler, pour pouvoir trouver les premières valeurs approchées des variables, et ces valeurs serviront ensuite a en trouver d’autres plus exactes, et ainsi de suite.

Pour donner un essai du calcul qu’il faudra faire pour cet objet, nous rejetterons d’abord dans-les équations du paragraphe précédent tous les termes multipliés par $i,$ et qui dépendent de la parallaxe du Soleil ; l’erreur sera d’autant plus petite que ces termes sont en même temps multipliés par la quantité très-petite $\alpha ^{2}.$

De cette manière, les équations $(p),(q),(r),(s)$ deviendront

${\begin{aligned}(\alpha )\quad {\frac {d\sigma }{dt}}\ \,&=\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {x} )^{-{\frac {3}{2}}},\\(\beta )\quad {\frac {d^{2}\mathrm {x} }{dt^{2}}}&-2(1+\mathrm {x} )^{-{\frac {1}{2}}}\\&-2\alpha ^{2}\left\{{\begin{aligned}&3\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}-(1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}\\&-\int (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}d\mathrm {x} +3\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}(d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle -\sigma t)\end{aligned}}\right\}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {const} .,\\(\gamma )\quad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}&-2\alpha ^{2}(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {1}{2}}}=\mathrm {const} .,\\(\delta )\quad {\frac {d^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt^{2}}}&+\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {x} )^{-{\frac {3}{2}}}+\alpha ^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}+\int (1+\mathrm {x} )^{-{\frac {3}{2}}}(d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle +\sigma dt)=\mathrm {const} .,\end{aligned}}$

où il n’y aura plus qu’à réduire en série les puissances de $1+\mathrm {x}$ et $1+\mathrm {X} .$