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Cherchons maintenant, d’après cette première valeur approchée de $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ celle de $\sin \psi$ par les formules $(t)$ de l’Article XLII ; on aura $\mathrm {M} =\alpha ^{2},$ en négligeant les quantités $\mathrm {x}$ et $\mathrm {X} \,;$ donc aussi $k^{2}=\alpha ^{2},r$ et $k=\alpha$ [équation $(x)$] : donc,

$\lambda =\alpha ^{2}\left(1-\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle \right)-{\frac {1}{4}}\left({\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}+\sigma \right)^{2}$

et

$\sin \psi ={\frac {\sqrt {\lambda }}{\alpha }}.$

Or

${\begin{aligned}{\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}=&-pf\sin pt-qg\sin qt,\\\sigma =&\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt={\frac {f\sin pt}{p}}+{\frac {g\sin qt}{q}}\,;\end{aligned}}$

donc

${\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}+\sigma ={\frac {f\left(1-p^{2}\right)}{p}}\sin pt+{\frac {g\left(1-q^{2}\right)}{q}}\sin qt=\mp 2\alpha (f\sin pt-g\sin qt),$

en négligeant les puissances supérieures de $\alpha \,;$ donc

${\begin{aligned}\lambda &=\alpha ^{2}\left[1-(f\cos pt+g\cos qt)^{2}-(f\sin pt-g\sin qt)^{2}\right]\\&=\alpha ^{2}\left[1-f^{2}-g^{2}-2fg(\cos pt\cos qt-\sin pt\sin qt)\right]\\&=\alpha ^{2}\left[1-f^{2}-g^{2}-2fg\cos(p+q)t\right]\,;\end{aligned}}$

mais

$f+g=1\,;$

donc

$1=f^{2}+g^{2}+2fg,$

donc

$\lambda =2\alpha ^{2}fg\left[1-\cos(p+q)t\right]=4\alpha ^{2}fg\sin ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}t\right),$

donc enfin

$\sin \psi =2{\sqrt {fg}}\sin \left({\frac {p+q}{2}}t\right).$