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de l’écliptique lunaire ; ou, ce qui revient au même, le rayon de l’orbite de la Lune autour de la Terre, réduit a l’écliptique ;

$\nu$ la longitude de la Terre, vue du centre de la Lune, ce qui est la même chose que la longitude de la Lune vue du centre de la Terre et augmentée de $180$ degrés ;

$\lambda$ la tangente de la latitude de la Terre, vue de la Lune, et supposée au-dessus de l’écliptique lunaire, laquelle est égale, mais de signe contraire à celle de la Lune vue de la Terre.

On aura, comme il est très-facile de le concevoir,

$x=\rho \cos \nu ,\quad y=\rho \sin \nu ,\quad z=\rho \lambda \,;$

et, si $\zeta$ exprime la longitude du nœud ascendant de la Lune et $i$ la tangente de l’inclinaison de l’orbite, la valeur de $\lambda$era, suivant les dénominations qu’on vient de poser,

$\lambda =-i\sin(\nu -180^{\circ }-\zeta )=i\sin(\nu -\zeta ).$

Soient aussi

$\rho '$ le rayon de l’orbite apparente du Soleil autour de la Terre,

$\nu '$ sa longitude.

Il est visible qu’on aura

$x'-x=\rho '\cos \nu ',\quad y'-y=\rho '\sin \nu ',\quad z'=z,$

savoir

$x'=\rho '\cos \nu '+\rho \cos \nu ,\quad y'=\rho '\sin \nu '+\rho \sin \nu ,\quad z'=z=\rho \lambda .$

On fera donc toutes ces substitutions dans l’expression de $\mathrm {R}$ et de $\mathrm {R} '$ (Article II), et l’on aura, après quelques réductions fort simples, en substituant pour $\mathrm {X,Y,Z}$ leurs valeurs [Article VI, équations (E)], et réduisant,

${\begin{aligned}\mathrm {R} ^{2}=&\rho ^{2}\left(1+\lambda ^{2}\right)-\mathrm {2\rho (X\cos \nu +Y\sin \nu +Z\lambda )+X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} \\=&\rho ^{2}\left(1+\lambda ^{2}\right)-2\rho r\sin \mathrm {P} \left[\sin(\nu -\varepsilon )\sin \pi +\lambda \cos \pi \right]\\&-2\rho r\cos \mathrm {P} \sin \mathrm {Q} '\left[\sin(\nu -\varepsilon )\cos \pi -\lambda \sin \pi \right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -2\rho r\cos \mathrm {P} \cos \mathrm {Q} '\cos(\nu -\varepsilon )+r^{2}.\end{aligned}}$