nouvelles et ingénieuses ont été proposées, comme, par exemple, celle que Jacobi a développée dans son célèbre Mémoire sur l’élimination des nœuds dans le Problème des trois Corps ; mais ces méthodes, comme celle de Lagrange, font dépendre la solution du Problème de sept intégrations.
La méthode de Lagrange est des plus remarquables ; elle montre que la solution complète du Problème exige seulement que l’on connaisse à chaque instant les côtés du triangle formé par les trois Corps ; les coordonnées de chaque Corps se déterminent effectivement ensuite sans aucune difficulté. Quant à la recherche du triangle des trois Corps, elle dépend de trois équations différentielles, parmi lesquelles deux sont du deuxième ordre et la troisième du troisième ordre ; ces équations renferment deux constantes arbitraires introduites, l’une par le principe des forces vives, l’autre par celui des aires, en sorte que les distances des Corps sont des fonctions du temps et de neuf constantes arbitraires seulement. Parmi les douze arbitraires que l’intégration complète doit introduire, il y en a donc trois qui ne figurent pas dans les expressions des distances, circonstance que l’examen des conditions du Problème permet d’ailleurs de mettre en évidence à priori.
Préoccupé assurément de l’application qu’il voulait faire de sa nouvelle méthode à la Théorie de la Lune, application qui fait l’objet du Chapitre IV de son mémoire, Lagrange a négligé d’introduire dans ses formules la symétrie que comportait son analyse, symétrie qu’un trèsléger changement dans les notations permet de rétablir. Les masses des trois Corps étant représentées par Lagrange étudie les mouvements relatifs de et autour de et il est bientôt amené à introduire en outre, dans ses formules, les quantités qui se rapportent au mouvement relatif du Corps autour de Une telle direction des calculs est incontestablement défectueuse, au point de vue de l’élégance mathématique, en ce sens que les coordonnées des trois orbites relatives considérées ne figurent pas symétriquement dans les formules ; mais, pour éviter cet inconvénient, il suffit, comme nous venons de le dire, d’une simple modification dans les notations de l’illustre Auteur, et cette modification revient à introduire, au lieu des mouvements considérés 1o le mouvement relatif du Corps autour de 2o celui de autour de 3o celui de autour de
Un habile géomètre allemand, M. Otto Hesse, a repris récemment l’analyse de Lagrange en se plaçant au point de vue que nous venons d’indiquer, et il a publié son travail dans le tome LXXIV du Journal de Crelle (imprimé à Berlin en 1872). M. Hesse ne considère que ce qu’il nomme le Problème restreint, c’est-à-dire, celui qui a pour objet de déterminer il chaque instant le triangle des trois Corps ; c’est à ce Problème restreint que Lagrange a ramené d’ailleurs, comme nous l’avons dit plus haut, le Problème général. M. Hesse, malgré son incontestable talent, n’a pas réussi à perfectionner l’analyse rigoureuse que nous devons à Lagrange, car une inadvertance l’a fait tomber dans une erreur grave, que nous indiquerons plus loin, et qui infirme absolument sa conclusion. Ajoutons que la notation particulière dont le géomètre allemand fait usage, pour abréger l’écriture des formules, ne paraît pas préférable à celle de son illustre devancier.
Pour justifier les remarques qui précèdent, il est nécessaire d’entrer dans quelques détails ; nous le ferons d’une manière succincte, en introduisant dans l’analyse de Lagrange les modifications nécessaires pour rétablir la symétrie des formules, et en dégageant la solution de tout ce qui n’est qu’accessoire.
1. Soient les coordonnées rectangles du Corps par rapport à celles du Corps par rapport à celles de par rapport à on aura
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