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Soient aussi

(2)

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},\quad r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}}.$

Les équations différentielles du mouvement forment trois groupes dont l’un est

(3)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r^{3}}}x-&\mathrm {A} \left({\frac {x}{r^{3}}}+{\frac {x'}{r'^{3}}}+{\frac {x''}{r''^{3}}}\right)=&0,\\{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r'^{3}}}x'-&\mathrm {B} \left({\frac {x}{r^{3}}}+{\frac {x'}{r'^{3}}}+{\frac {x''}{r''^{3}}}\right)=&0,\\{\frac {d^{2}x''}{dt^{2}}}+&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r''^{3}}}x''-&\mathrm {C} \left({\frac {x}{r^{3}}}+{\frac {x'}{r'^{3}}}+{\frac {x''}{r''^{3}}}\right)=&0.\end{alignedat}}\right.$

et dont les deux autres se déduisent du précédent en changeant $x$ en $y$ et en $z.$ À cause des formules (1), les équations de chaque groupe peuvent être réduites à deux distinctes ; ces équations coïncideraient avec les équations $\mathrm {(A),(B),(C)}$ de Lagrange, si l’on y faisait le simple changement de $x,y,z,$ $x'',y'',z''$ en $-x'',-y'',-z'',-x,-y,-z.$

Du groupe (3) et des deux groupes analogues on déduit

${\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{\mathrm {A} dt^{2}}}+{\frac {x'd^{2}y'-y'd^{2}x'}{\mathrm {B} dt^{2}}}+{\frac {x''d^{2}y''-y''d^{2}x''}{\mathrm {C} dt^{2}}}=0,$

équation qui subsiste quand on exécute la substitution circulaire $(x,y,z)$ et qu’on répète cette substitution. On conclut de là les trois intégrales des aires, savoir

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {ydz-zdy}{\mathrm {A} dt}}&+{\frac {y'dz'-z'dy'}{\mathrm {B} dt}}+{\frac {y''dz''-z''dy''}{\mathrm {C} dt}}=a,\\{\frac {zdx-xdz}{\mathrm {A} dt}}&+{\frac {z'dx'-x'dz'}{\mathrm {B} dt}}+{\frac {z''dx''-x''dz''}{\mathrm {C} dt}}=b,\\{\frac {xdy-ydx}{\mathrm {A} dt}}&+{\frac {x'dy'-y'dx'}{\mathrm {B} dt}}+{\frac {x''dy''-y''dx''}{\mathrm {C} dt}}=c,\end{aligned}}\right.$

$a,b,c$ étant trois constantes arbitraires.

Ensuite, si l’on fait

(5)$\quad u^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}},\quad u'^{2}={\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}},$

$u''^{2}={\frac {dx''^{2}+dy''^{2}+dz''^{2}}{dt^{2}}},$

et que l’on ajoute ensemble les équations du groupe (3) et des deux analogues, après avoir multiplié ces équations respectivement par

${\frac {2dx}{\mathrm {A} }},\ \ {\frac {2dx'}{\mathrm {B} }},\ \ {\frac {2dx''}{\mathrm {C} }},\ \ {\frac {2dy}{\mathrm {A} }},\ \ {\frac {2dy'}{\mathrm {B} }},\ \ {\frac {2dy''}{\mathrm {C} }},\ \ {\frac {2dz}{\mathrm {A} }},\ \ {\frac {2dz'}{\mathrm {B} }},\ \ {\frac {2dz''}{\mathrm {C} }}.$

on aura

(6)

$d\left({\frac {u^{2}}{\mathrm {A} }}+{\frac {u'^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {u''^{2}}{\mathrm {C} }}\right)+2(\mathrm {A+B+C} )\left({\frac {dr}{\mathrm {A} r^{2}}}+{\frac {dr'}{\mathrm {B} r'^{2}}}+{\frac {dr''}{\mathrm {C} r''^{2}}}\right)=0.$