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Ajoutons les quatre équations (13) et (7), après avoir divisé les trois premières par $\mathrm {A,B,C}$ respectivement ; on aura

(14)

${\begin{aligned}&\left[{\frac {1}{2\mathrm {A} }}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2\mathrm {B} }}{\frac {d^{2}\left(r'^{2}\right)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2\mathrm {C} }}{\frac {d^{2}\left(r''^{2}\right)}{dt^{2}}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -(\mathrm {A+B+C} )\left({\frac {1}{\mathrm {A} r}}+{\frac {1}{\mathrm {B} r'}}+{\frac {1}{\mathrm {C} r''}}\right)=f.\end{aligned}}$

Cette équation coïncide avec l’équation (L) de Lagrange, quand on y permute les lettres $r$ et $r''\,;$ c’est une transformée de l’intégrale des forces vives ; elle ne renferme que les seules distances $r,r',r''.$

3. D’après les formules (1), les trois quantités

${\begin{aligned}(x'dx''+y'dy''+z'dz'')-&(x''dx'+y''dy'+z''dz'),\\(x''dx\,\ +y''dy\ +z''dz\ )-&(xdx''\ +ydy''\ \,+zdz''\ ),\\(xdx'\ \ +ydy'\ \,+zdz'\ \ )-&(x'dx\ \ +y'dy\ \ +z'dz\,\ )\end{aligned}}$

sont égales entre elles. Si l’on désigne par $\rho dt$ leur valeur, on aura, par le moyen des formules (8)

(15)

$\left\{{\begin{aligned}x'dx''+y'dy''+z'dz''=&{\frac {1}{2}}(-dp+\rho dt),\\&x''dx'+y''dy'+z''dz'={\frac {1}{2}}(-dp-\rho dt),\\x''dx\ \,+y''dy\,+z''dz\,=&{\frac {1}{2}}(-dp'+\rho dt),\\&xdx''\ \,+ydy''\ +zdz''\ ={\frac {1}{2}}(-dp'-\rho dt),\\xdx'\ \ \,+ydy'\ +zdz'\ \,=&{\frac {1}{2}}(-dp''+\rho dt,\\&x'dx\ \ \,+y'dy\ \,+z'dz\ \ ={\frac {1}{2}}(-dp''-\rho dt).\end{aligned}}\right.$

La quantité auxiliaire $\rho$ que nous introduisons n’est autre chose que celle qui est désignée par $-{\frac {d\rho }{dt}}$ dans le Mémoire de Lagrange ; il est évident que cette quantité peut être exprimée en fonction des vitesses $u,u',u'',$ des distances $r,r',r''$ et de leurs différentielles $dr,dr',dr''.$ En effet, considérons quatre directions respectivement parallèles à celles des rayons $r,r'$ et des vitesses $u,u'\,;$ soient $\mathrm {L,M,N}$ les cosinus des angles formés par la direction de $r'$ avec les directions de $u,u',r\,;$ $\mathrm {L_{1},M_{1},N_{1}}$ les cosinus des angles formés par les directions de $u'$ et $r,$ de $u$ et $r,$ de $u$ et $u'.$ On aura entre ces six cosinus la relation connue

(16)

$\left\{{\begin{aligned}1-&\mathrm {\left(L^{2}+M^{2}+N^{2}+L_{1}^{2}+M_{1}^{2}+N_{1}^{2}\right)} +\mathrm {\left(L^{2}L_{1}^{2}+M^{2}M_{1}^{2}+N^{2}N_{1}^{2}\right)} \\&+2\mathrm {\left(L_{1}MN+M_{1}NL+N_{1}LM+L_{1}M_{1}N_{1}\right)} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad -2\mathrm {\left(LL_{1}MM_{1}+MM_{1}NN_{1}+NN_{1}LL_{1}\right)} =0.\end{aligned}}\right.$

On a d’ailleurs, par les formules précédentes,

(17)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\mathrm {L} \,\ =&-{\frac {\rho dt+dp''}{2r'udt}},&\quad \mathrm {M} \,\ =&{\frac {dr'}{u'dt}},&\quad \mathrm {N} \,\ =&-{\frac {p''}{rr'}},\\\mathrm {L} _{1}=&\quad {\frac {\rho dt-dp''}{2r'udt}},&\mathrm {M} _{1}=&{\frac {dr}{udt}},&\mathrm {N} _{1}=&-{\frac {u^{2}+u'^{2}-u''^{2}}{2uu'}}.\end{alignedat}}\right.$

Faisons, pour abréger, avec Lagrange,

(18)

${\frac {u'^{2}+u''^{2}-u^{2}}{2}}=v,\ \ {\frac {u''^{2}+u^{2}-u'^{2}}{2}}=v',\ \ {\frac {u^{2}+u'^{2}-u''^{2}}{2}}=v'',$