d’où
(19)
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et
(20)
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l’équation (16) deviendra, après la substitution des valeurs (17),
(21)
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c’est précisément l’équation (N) de Lagrange. Si l’on suppose que
y soient remplacées par leurs valeurs tirées des équations (12), la quantité auxiliaire
ne dépendra que des distances
et de leurs différentielles du premier et du deuxième ordre.
4. Puisque l’on a
![{\displaystyle (xdx'-x'dx)+(ydy'-y'dy)+(zdz'-z'dz)=\rho dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a61abe732a3f2859db5d55c046871bf036981a)
il s’ensuit, par la différentiation.
![{\displaystyle \left(xd^{2}x'-x'd^{2}x\right)+\left(yd^{2}y'-y'd^{2}y\right)+\left(zd^{2}z'-z'd^{2}z\right)=\rho dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4eb473ad478e27c1419853ed39a91b5468dae9e)
et, si l’on élimine les différentielles secondes des coordonnées au moyen des équations (3) et de celles qui s’en déduisent par le changement de
en
et en
on aura
(22)
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cette équation n’est autre que l’équation (H) de Lagrange, en tenant compte du changement de notation.
5. Revenons maintenant aux équations (4) on a identiquement
![{\displaystyle (ydz-zdy)(y'dz'-z'dy')+(zdx-xdz)(z'dx'-x'dz')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0dacfb9044c6e9c8a34075ac17de945c93f8db)
![{\displaystyle +(xdy-ydx)(x'dy'-y'dx')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884eb512e27a86ac2423ccc26d7a0a1f23e730d3)
![{\displaystyle \quad =(xx'+yy'+zz')(dxdx'+dydy'+dzdz')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b9d30fedf25e4b0b0349f75e08897252171e9f)
![{\displaystyle -(xdx'+ydy'+zdz')(x'dx+y'dy+z'dz),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0530daf82270ba873e01f0b9b22e0b4ef5959a6a)
et, cette formules subsiste quand on écrit
ou
au lieu de
ou bien
ou
au lieu de
D’après cela, si l’on fait
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=k^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227025663c83e36306b7f8451515c9fe4ec9988e)