Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/331

d’où

(19)

$u^{2}=v'+v'',\quad u'^{2}=v''+v,\quad u''^{2}=v+v',$

et

(20)

$\left\{{\begin{aligned}\Sigma \ \,=r^{2}\ \,\rho ^{2}&-2\left(p'{\frac {dp''}{dt}}-p''{\frac {dp'}{dt}}\right)\rho \\&+p'\left({\frac {dp''}{dt}}\right)^{2}+p''\left({\frac {dp'}{dt}}\right)^{2}+p\left({\frac {d\left(r^{2}\right)}{dt}}\right)^{2},\\\Sigma '\,=r'^{2}\,\rho ^{2}&-2\left(p''{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp''}{dt}}\right)\rho \\&+p''\left({\frac {dp}{dt}}\right)^{2}+p\left({\frac {dp''}{dt}}\right)^{2}+p'\left({\frac {d\left(r'^{2}\right)}{dt}}\right)^{2},\\\Sigma ''=r''^{2}\rho ^{2}&-2\left(p{\frac {dp'}{dt}}-p'{\frac {dp}{dt}}\right)\rho \\&+p\left({\frac {dp'}{dt}}\right)^{2}+p'\left({\frac {dp}{dt}}\right)^{2}+p''\left({\frac {d\left(r''^{2}\right)}{dt}}\right)^{2},\end{aligned}}\right.$

l’équation (16) deviendra, après la substitution des valeurs (17),

(21)

${\begin{aligned}\left(\rho ^{2}+{\frac {dpdp'+dp'dp''+dp''dp}{dt^{2}}}\right)^{2}-&4\left(\Sigma v+\Sigma 'v'+\Sigma ''v''\right)\\+16(pp'+p'p''+&p''p)(vv'+v'v''+v''v)=0\,;\end{aligned}}$

c’est précisément l’équation (N) de Lagrange. Si l’on suppose que $u^{2},u'^{2},u''^{2}$ y soient remplacées par leurs valeurs tirées des équations (12), la quantité auxiliaire $\rho$ ne dépendra que des distances $r,r',r''$ et de leurs différentielles du premier et du deuxième ordre.

4. Puisque l’on a

$(xdx'-x'dx)+(ydy'-y'dy)+(zdz'-z'dz)=\rho dt\,;$

il s’ensuit, par la différentiation.

$\left(xd^{2}x'-x'd^{2}x\right)+\left(yd^{2}y'-y'd^{2}y\right)+\left(zd^{2}z'-z'd^{2}z\right)=\rho dt,$

et, si l’on élimine les différentielles secondes des coordonnées au moyen des équations (3) et de celles qui s’en déduisent par le changement de $x$ en $y$ et en $z,$ on aura

(22)

${\frac {d\rho }{dt}}+\mathrm {A} pq+\mathrm {B} p'q'+\mathrm {C} p''q''=0\,;$

cette équation n’est autre que l’équation (H) de Lagrange, en tenant compte du changement de notation.

5. Revenons maintenant aux équations (4) on a identiquement

$(ydz-zdy)(y'dz'-z'dy')+(zdx-xdz)(z'dx'-x'dz')$

$+(xdy-ydx)(x'dy'-y'dx')$

$\quad =(xx'+yy'+zz')(dxdx'+dydy'+dzdz')$

$-(xdx'+ydy'+zdz')(x'dx+y'dy+z'dz),$

et, cette formules subsiste quand on écrit $x',y',z'$ ou $x'',y'',z''$ au lieu de $x,y,z,$ ou bien $x'',y'',z''$ ou $x,y,z$ au lieu de $x',y',z'.$ D’après cela, si l’on fait

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=k^{2},$