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rayons vecteurs, et l’autre $\Pi$ toujours perpendiculaire à ces rayons ; nommant $\varphi$ l’angle parcouru pendant le temps $t,$ on aura, comme l’on sait, les deux équations

(I.)$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {xd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\Psi =0,$

(II.)$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d\left(x^{2}d\varphi \right)}{dt^{2}}}-x\Pi =0.$

La seconde, étant multipliée par $2x^{2}d\varphi$ et ensuite intégrée, donne

$\left({\frac {x^{2}d\varphi }{dt}}\right)^{2}-2\int x^{3}\Pi d\varphi =k^{2},$

$k$ étant la valeur de ${\frac {x^{2}d\varphi }{dt}},$ lorsque $\int x^{3}\Pi d\varphi$ est nul ; et de là on tire d’abord

(III.)$\qquad \qquad \qquad \qquad dt={\frac {x^{2}d\varphi }{\sqrt {k^{2}+2\int x^{3}\Pi d\varphi }}}.$

Ensuite, substituant cette valeur dans la première équation et prenant $d\varphi$ constant, on aura

(IV.)$\quad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}{\cfrac {1}{x}}}{d\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{x}}-{\frac {\Psi x^{2}+{\cfrac {\Pi xdx}{d\varphi }}}{k^{2}+2\int \Pi x^{3}d\varphi }}=0.$

Donc, si la force $\Psi$ est composée d’une force ${\frac {\mathrm {M} }{x^{2}}}$ et d’une force perturbatrice $\Phi ,$ on aura, en faisant ${\frac {1}{x}}=u,$

(V.)$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {M} }{k^{2}}}-\Omega =0,$

où

$\Omega ={\frac {\Phi x^{2}+{\cfrac {\Pi xdx}{d\varphi }}-{\cfrac {2\mathrm {M} }{k^{2}}}\int \Pi x^{3}d\varphi }{k^{2}+2\int \Pi x^{3}d\varphi }}.$