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donc, substituant cette valeur, et faisant attention que

$\cos ^{2}\eta ={\frac {1+\cos 2\eta }{2}},\quad \cos ^{2}\eta ={\frac {3\cos \eta +\cos 3\eta }{4}},$

$\cos \eta \sin \eta ={\frac {\sin 2\eta }{2}},\quad \cos ^{2}\eta \sin \eta ={\frac {\sin \eta +\sin 3\eta }{4}},$

on aura, par l’action du Soleil sur la Lune :

Force perturbatrice dans la direction du rayon,

$-{\frac {\mathrm {S} }{2\sigma ^{3}}}(1+3\cos 2\eta )x-{\frac {\mathrm {S} }{4\sigma ^{4}}}\left({\frac {9\cos \eta }{2}}+15\cos 3\eta \right)x^{2}\,;$

Force perturbatrice perpendiculaire au rayon,

$-{\frac {3\mathrm {S} }{2\sigma ^{3}}}\sin 2\eta \times x-{\frac {\mathrm {S} }{8\sigma ^{4}}}\left(3\sin \eta +15\sin 3\eta \right)x^{2}.$

12. À ces forces provenant de l’attraction du Soleil, il faut maintenant ajouter celles qui viennent de l’attraction de la Terre ; et comme on veut avoir égard à la non-sphéricité de sa figure, il est nécessaire de considérer en particulier l’attraction de chaque particule de la Terre sur la Lune et d’en chercher les forces résultantes.

Pour faciliter cette recherche, nous commencerons par établir cette proposition préliminaire, qui est assez facile à démontrer et qui peut être aussi utile dans d’autres occasions :

Si un point $\mathrm {A}$ attire un autre point $\mathrm {B}$ avec une force quelconque $\mathrm {F} ,$ et qu’on propose de décomposer cette force suivant trois directions données perpendiculaires entre elles ; soit $\Delta$ la distance entre les deux Corps, et soit $d\Delta$ l’accroissement de cette distance en supposant que le Corps attiré $\mathrm {B}$ parcoure, suivant l’une des directions dont il s’agit, l’espace infiniment petit $d\alpha ,$ on aura $-\mathrm {F} {\frac {d\Delta }{d\alpha }}$ pour la partie de la force $\mathrm {F}$ qui agit suivant cette même direction.

De là il s’ensuit que, si l’on détermine la position du point $\mathrm {B} ,$ par rapport au point $\mathrm {A} ,$ par trois variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ dont les différentiellcs $d\alpha ,$