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pondent au centre de la Lune, il est clair que la distance $\Delta$ de cette particule à la Lune sera exprimée par la formule

${\sqrt {(\lambda -l)^{2}+(\mu -m')^{2}+(\nu -n')^{2}}}.$

17. Soit, pour abréger, $l^{2}+m^{2}+n^{2}=r^{2}$ ($r$ étant la distance de la particule $d\mathrm {M}$ au centre de la Terre) ; on aura aussi $l^{2}+m'^{2}+n'^{2}=r^{2}\,;$ et, comme on a déjà $\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=\rho ^{2},$ on aura, en substituant les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu$ et développant les termes,

${\begin{aligned}\Delta ^{2}=\rho ^{2}&-2\rho l(\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z)\\&+2\rho m'(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\\&-2\rho n'\cos y\cos z+r^{2},\end{aligned}}$

où l’on remarquera que le rayon $\rho$ de l’orbite de la Lune est infiniment plus grand que les quantités $l,m,n,r\,;$ en sorte qu’on pourra exprimer commodément la valeur de ${\frac {1}{\Delta }}$ par une série fort convergente.

Pour cela je suppose

$p=l(\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z)-m'(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)$

$+n'\cos y\cos z\,;$

ou bien, en substituant les valeurs de $m'$ et $n',$

${\begin{aligned}p=&l(\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z)\\&-m\left[(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\cos \psi +\cos y\cos z\sin \psi \right]\\&-n\ \left[(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\sin \psi -\cos y\cos z\cos \psi \right],\end{aligned}}$

en sorte que l’on ait

$\Delta ={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho p+r^{2}}}\,;$

et, regardant les quantités $p$ et $r$ comme très-petites du même ordre vis-à-vis de $\rho ,$ on aura

${\frac {1}{\Delta }}={\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{2\rho ^{3}}}\left(-2\rho p+r^{2}\right)-{\frac {1.3}{2.4\rho ^{5}}}\left(-2\rho p+r^{2}\right)^{2}$

$-{\frac {1.3.5}{2.4.6\rho ^{7}}}\left(-2\rho p+r^{2}\right)^{3}+\ldots ,$

c’est-à-dire, en ordonnant les termes par rapport aux puissances de $\rho ,$ et