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ne poussant la précision que jusqu’aux infiniment petits du troisième ordre,

${\frac {1}{\Delta }}={\frac {1}{\rho }}+{\frac {p}{\rho ^{2}}}+{\frac {3p^{2}-r^{2}}{2\rho ^{3}}}+{\frac {5p^{3}-3pr^{2}}{2\rho ^{4}}}+\ldots .$

18. Faisons encore, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z,\\\mathrm {Q} =&-(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\cos \psi -\cos y\cos z\sin \psi ,\\\mathrm {R} =&-(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\sin \psi +\cos y\cos z\cos \psi ,\end{aligned}}$

de manière que la valeur de $p$ soit représentée par $l\mathrm {P} +m\mathrm {Q} +n\mathrm {R} ,$ et, substituant cette quantité à la place de $p$ dans l’expression précédente de ${\frac {1}{\Delta }},$ on aura, à cause de $r^{2}=l^{2}+m^{2}+n^{2},$

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta }}=&{\frac {1}{\rho }}+{\frac {l\mathrm {P} +m\mathrm {Q} +n\mathrm {R} }{\rho ^{2}}}\\&+{\frac {\left({\begin{aligned}&l^{2}\left(3\mathrm {P} ^{2}-1\right)+m^{2}\left(3\mathrm {Q} ^{2}-1\right)+n^{2}\left(3\mathrm {R} ^{2}-1\right)\\&+6(lm\mathrm {PQ} +ln\mathrm {PR} +mn\mathrm {QR} )\end{aligned}}\right)}{2\rho ^{3}}}\\&+{\frac {l^{3}\mathrm {\left(5P^{3}-3P\right)} +m^{3}\mathrm {\left(5Q^{3}-3Q\right)} +n^{3}\mathrm {\left(5R^{3}-3R\right)} }{2\rho ^{4}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {\left({\begin{aligned}&3\left(l^{2}m\mathrm {Q} +l^{2}n\mathrm {R} \right)\left(5\mathrm {P} ^{2}-1\right)+3\left(m^{2}l\mathrm {P} +m^{2}n\mathrm {R} \right)\left(5\mathrm {Q} ^{2}-1\right)\\&+3\left(n^{2}l\mathrm {P} +n^{2}m\mathrm {Q} \right)\left(5\mathrm {R} ^{2}-1\right)\end{aligned}}\right)}{2\rho ^{4}}}\end{aligned}}$^[1].

Donc, multipliant cette quantité par $d\mathrm {M} ,$ et intégrant en ne faisant varier que les quantités $l,m,n,$ on aura la valeur de $\int {\frac {d\mathrm {M} }{\Delta }}$ ou de $\Sigma$ (n^o 12) ; ainsi, en faisant attention que (n^o 13)

${\begin{array}{lll}\int ld\mathrm {M} =0,&\int md\mathrm {M} =0,&\int nd\mathrm {M} =0,\\\int lmd\mathrm {M} =0,&\int lnd\mathrm {M} =0,&\int mnd\mathrm {M} =0,\end{array}}$

1. Lagrange a omis ici le terme ${\frac {15lmm\mathrm {PQR} }{\rho ^{4}}},$ qui est du même ordre que les derniers termes conservés.
   (Note de l’Éditeur.)