Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/358

parties de la Terre sur la Lune, et dont les directions seront les mêmes que celles des petits espaces $-d\rho ,\ \rho \cos ydz,\ \rho dy.$

Si, au lieu du rayon $\rho$ de l’orbite réelle de la Lune, on introduisait le rayon $x$ de son orbite projetée sur l’écliptique, et qu’au lieu de la latitude $y$ on introduisît la distance perpendiculaire de la Lune au plan de l’écliptique $q,$ ce qui ne demande que de mettre partout, dans l’expression de $\Sigma$,

${\sqrt {x^{2}+q^{2}}}$

à la place de $\rho$, et ${\frac {q}{\sqrt {x^{2}+q^{2}}}},{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+q^{2}}}}$ à la place de $\sin y$ et $\cos y,$ alors, en faisant varier les trois quantités $x,z,q,$ et prenant $-dx,xdz$ et $dq$ pour $d\alpha ,d\beta ,d\gamma ,$ on aurait les trois forces

$-{\frac {d\Sigma }{dx}},\quad {\frac {1}{x}}{\frac {d\Sigma }{dz}},\quad {\frac {d\Sigma }{dq}},$

qui seraient équivalentes aux précédentes, mais dont la première agirait suivant la direction du rayon $x,$ la seconde perpendiculairement à ce rayon et parallèlement à l’écliptique, la troisième perpendiculairement à ces deux-là.

Comme cette dernière manière d’envisager les forces qui proviennent de l’action de la Terre sur la Lune est beaucoup plus convenable, lorsqu’on ne veut pas considérer l’orbite réelle de la Lune, mais son orbite projetée sur l’écliptique, ainsi que nous l’avons fait plus haut, nous nous y tiendrons dans la recherche présente, et nous remarquerons d’abord qu’on peut faire abstraction de la latitude de la Lune $y,$ qui étant toujours assez petite, et étant d’ailleurs tantôt positive, tantôt négative, ne saurait influer que très-peu sur son mouvement moyen ; c’est pourquoi on pourra simplifier nos formules en y supposant d’avance $y=0$ et $\rho =x,$ ce qui donnera

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\sin \omega \sin z,\\\mathrm {Q} =&\cos \omega \sin z\cos \psi -\cos z\sin \psi ,\\\mathrm {R} =&\cos \omega \sin z\sin \,\psi +\cos z\cos \psi \,;\end{aligned}}$