La quatrième Section contient l’application des méthodes et des formules données dans les Sections précédentes aux perturbations des comètes, et en particulier à celles de la comète de 1532 et de 1661. Toute la difficulté de cette application consiste dans l’intégration des formules différentielles qui déterminent les variations des éléments de l’orbite. Après avoir mis ces formules sous une forme plus simple et plus commode pour le calcul, je montre les obstacles qui s’opposent à leur intégration générale, et qui obligent d’avoir recours aux quadratures des courbes mécaniques. Comme la méthode de ces quadratures est assez connue par les Ouvrages de Cotes et de Stirling, je n’entre là-dessus dans aucun détail ; mais je remarque qu’il y a des cas où l’usage de cette méthode cesse d’être légitime c’est lorsque la distance entre la comète et la planète perturbatrice est fort petite et approche de son minimum. Je donne pour ces sortes de cas une méthode particulière, qui réduit l’intégration aux logarithmes ou aux arcs de cercles, et ne peut jamais être sujette à aucun inconvénient. Tout ce que nous venons de dire ne regarde que la partie inférieure de l’orbite de la comète ; car, pour la partie supérieure de cette orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil sera beaucoup plus grande que la distance de la planète au Soleil, je fais voir que la partie des formules différentielles qu’il reste à enregistrer se partage de nouveau en deux parties l’une indépendante du lieu de la planète, et qui est absolument intégrable ; l’autre qui contient les sinus ou cosinus de l’angle du moyen mouvement de la planète, et qui n’est intégrable par aucune méthode connue, mais dont je démontre que l’intégrale est nécessairement beaucoup plus petite que celle de la première partie, en sorte qu’on peut la négliger entièrement ; et, au cas qu’on voulût pousser l’exactitude plus loin, je donne un moyen d’approcher de plus en plus de la vraie valeur de cette intégrale. D’où il s’ensuit que, dans les régions supérieures de l’orbite des comètes, on peut déterminer leurs perturbations par des formules analytiques, qui ne demandent que des substitutions numériques pour donner les résultats cherchés, comme dans le cas des planètes. Je considère enfin la comète des années 1532 et 1661, que les Astronomes attendent vers 1789 ou 1790, et je déduis des
