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ces quantités deviendront $x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z,r+\delta r,$ et devront être déterminées par les équations du n^o 5, en mettant dans ces équations ces nouvelles quantités à la place des premières $x,y,z,r.$ Or, comme les différences $\delta x,\delta y,\delta z$ sont très-petites de l’ordre $\mu ,\mu ',\ldots ,$ il suffira de conserver, dans cette substitution, les premières dimensions de ces différences (par l’hypothèse du n^o 1), dans les termes non affectés de $\mu ,\mu ',\ldots \,;$ et, dans les termes affectés de ces quantités, on pourra négliger tout à fait les différences dont il s’agit.

Ainsi donc le terme ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ de la première équation du n^o 5 deviendra

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},$

le terme $(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}$ de la même équation deviendra

$(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}+(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right),$

et les autres termes demeureront les mêmes.

On transformera de même la deuxième et la troisième équation du mouvement de la comète, et, effaçant ensuite les termes qui se détruisent en vertu des équations du n^o 6, on aura ces trois-ci, qui serviront à déterminer les valeurs des quantités $\delta x,\delta y,\delta z$, dues aux perturbations de la comète :

Pour les perturbations de la comète,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\xi }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\xi '}}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\eta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\eta '}}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\zeta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\zeta '}}+\ldots .\end{aligned}}$