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$b$ et $c$ étant deux constantes arbitraires ; et il est visible que cette valeur de $z$ est en même temps l’intégrale complète de la troisième équation, puisqu’elle renferme deux constantes arbitraires.

Je multiplie maintenant la première des trois équations différentielles proposées par $2dx,$ la seconde par $2dy,$ la troisième par $2dz\,;$ ensuite je les ajoute ensemble, et j’intègre j’ai

(B)

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-2(1+m)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)=0,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Je multiplie ensuite les mêmes équations par $x,y,z,$ et j’ajoute à leur somme l’équation précédente j’ai, à cause de $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

(C)

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{dt^{2}}}-(1+m)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {2}{a}}\right)=0.$

Cette équation étant multipliée par $d(r^{2}),$ et ensuite intégrée, donne celle-ci

(D)

$\left[{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(r^{2}\right)}{dt}}\right]^{2}-2(1+m)\left(r-{\frac {r^{2}}{a}}-h\right)=0,$

$h$ étant une nouvelle constante arbitraire. Or

${\frac {1}{2}}d^{2}\left(r^{2}\right)=rd^{2}r+dr^{2}\quad {\text{et}}\quad \left[{\frac {1}{2}}d\left(r^{2}\right)\right]^{2}=r^{2}dr^{2}\,;$

donc, si l’on divise l’équation (D) par $r^{2},$ et qu’on la retranche de l’équation (C), on aura, après avoir divisé par $r,$

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+(1+m)\left({\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {2h}{r^{3}}}\right)=0,$

équation qui, en faisant $2h-r=p,$ prend cette forme

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+(1+m){\frac {p}{r^{3}}}=0,$

qui est, comme l’on voit, semblable aux équations primitives.