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C’est pourquoi on aura sur-le-champ cette intégrale $p=fx+gy,$ ou bien

(E)

$2h-r=fx+gy,$

$f$ et $g$ étant deux nouvelles constantes arbitraires, en sorte que l’intégrale est complète.

Les équations (A) et (E) offrent déjà, comme l’on voit, deux intégrales finies. On trouvera la troisième au moyen de l’équation (D), laquelle se réduit à

${\frac {rdr}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}=dt{\sqrt {2(1+m)}},$

dont l’intégrale est

(F)

$\operatorname {arc} \,\sin {\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a-4h}}}-{\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a}}}=2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i,$

$i$ étant encore une constante arbitraire.

Cette équation détermine $r$ en $t,$ et les équations (A) et (E), combinées avec celle-ci $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ servent à déterminer $x,y,z$ en $r\,;$ ainsi l’on aura $x,y,z$ en $t.$ Mais ces valeurs, pour être complètes, doivent renfermer six constantes, parce que les équations différentielles proposées sont chacune du second ordre. Or l’équation (A) renferme deux constantes arbitraires $b$ et $c\,;$ l’équation (E) en renferme trois $f,g$ et $h,$ et l’équation (F) en renferme encore deux autres $a$ et $i.$ Il y en a donc en tout sept, et par conséquent une de plus qu’il ne faut.

En examinant la chose de plus près, il est aisé de s’apercevoir que cela vient de ce que la constante $a$ a été introduite par l’intégration qui a donné l’équation (B), équation dont nous n’avons point tenu compte dans la suite du calcul comme d’une équation intégrale. Il est donc nécessaire d’avoir égard à cette équation, et il en doit résulter une équation de condition entre les constantes ; en sorte qu’il n’en restera plus que six d’arbitraires, comme le Problème le demande