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Ces substitutions faites, on verra que l’identité aura lieu en effet, en faisant

(H)

${\frac {4h}{a}}=1-{\frac {(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}{1+b^{2}+c^{2}}}.$

C’est l’équation de condition cherchée.

Si, dans l’expression de $q$ du numéro précédent, on substitue la valeur de $(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}$ donnée par l’équation (G), que nous venons de trouver, et qu’on y mette de plus pour $p$ sa valeur $2h-r,$ elle deviendra

$q=2{\sqrt {h\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}.$

17. Pour pouvoir appliquer les formules précédentes au mouvement des comètes, il faut connaître les valeurs des constantes que ces formules renferment.

Pour cet effet, je remarque d’abord que l’équation (A) est celle d’un plan dont la position, à l’égard du plan des coordonnées $x$ et $y,$ dépend des constantes $b$ et $c.$ Ce plan sera donc celui de l’orbite de la comète, et qui est déterminé par les observations.

Soient $\omega$ l’angle que l’intersection des deux plans, c’est-à-dire, la ligne des nœuds de l’orbite sur le plan des $x$ et $y,$ fait avec l’axe des $x,$ et $\psi$ l’inclinaison de l’orbite sur ce dernier plan ; il est facile de prouver qu’on aura

$c=\operatorname {tang} \psi \cos \omega ,\quad b=-\operatorname {tang} \psi \sin \omega .$

L’équation (E) servira ensuite à déterminer la figure de l’orbite ; et il est aisé de conclure de la forme même de cette équation que l’orbite ne peut être qu’une section conique, ayant le foyer dans l’origine des coordonnées, en sorte que $r$ sera le rayon vecteur de l’orbite.

Les deux apsides seront donc aux points où ${\frac {dr}{dt}}=0\,;$ or, dans ce cas, l’équation (D) donne

$r-{\frac {r^{2}}{a}}-h=0,$