Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/428

On aura donc, en général,

$p=er\cos \varphi ,\quad q={\frac {er\sin \varphi }{\cos \psi }},$

et l’on pourra, par ces substitutions, dans les formules (F) et (G), avoir les valeurs de $t,x,y,z$ exprimées par la seule anomalie $\varphi .$

19. Dans le nœud, on a $z=0\,;$ donc (équation G)

$(bf+cg)p+(cf-bg)q=0,$

savoir, en substituant les valeurs précédentes de $p$ et $q,$

$(bf+cg)\cos \varphi +(cf-bg){\frac {\sin \varphi }{\cos \psi }}=0,$

où $\varphi$ est l’anomalie qui répond au nœud.

Dénotons cette anomalie par $\alpha ,$ on aura donc

$(bf+cg)\cos \alpha \cos \psi +(cf-bg)\sin \alpha =0\,;$

d’où l’on tire

${\frac {g}{f}}={\frac {c\sin \alpha +b\cos \psi \cos \alpha }{b\sin \alpha -c\cos \psi \cos \alpha }},$

et, en mettant pour $b$ et $c$ leurs valeurs (n^o 17),

${\frac {g}{f}}={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }}\,;$

mais on a trouvé plus haut (n^o 17) ${\frac {g}{f}}=\operatorname {tang} \varepsilon \,;$ ainsi l’on aura l’équation

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }}\,;$

d’où il est aisé de tirer

$\sin \varepsilon ={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\alpha }}},\quad \cos \varepsilon ={\frac {\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\alpha }}}\,;$