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et, en substituant ces valeurs dans les expressions de $f$ et $g$ du n^o 17, on trouvera

$f=e\left(\cos \omega \cos \alpha +{\frac {\sin \omega \sin \alpha }{\cos \psi }}\right),\quad g=e\left(\sin \omega \cos \alpha -{\frac {\cos \omega \sin \alpha }{\cos \psi }}\right)\,;$

par là, et par les valeurs de $b$ et $c,$ on aura

$cf-bg=e\operatorname {tang} \psi \cos \alpha ,\quad bf+cg=-{\frac {e\operatorname {tang} \psi \sin \alpha }{\cos \psi }},$

$f+c(cf-bg)={\frac {e(\cos \omega \cos \alpha +\sin \omega \sin \alpha \cos \psi )}{\cos ^{2}\psi }},$

$g-b(cf-bg)={\frac {e(\sin \omega \cos \alpha -\cos \omega \sin \alpha \cos \psi )}{\cos ^{2}\psi }},$

$(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}={\frac {e^{2}}{\cos ^{2}\psi }}\,;$

de sorte que, à cause de $p=er\cos \varphi ,\ q={\frac {er\sin \varphi }{\cos \psi }},$ les formules (G) du n^o 15 deviendront

${\begin{aligned}x=&r\left[\cos \omega \cos(\varphi -\alpha )-\sin \omega \sin(\varphi -\alpha )\cos \psi \right],\\y=&r\left[\sin \omega \cos(\varphi -\alpha )+\cos \omega \sin(\varphi -\alpha )\cos \psi \right],\\z=&r\,\ \sin \psi \sin(\varphi -\alpha ),\end{aligned}}$

dans lesquelles $\varphi -\alpha$ est ce qu’on nomme l’argument de latitude.

20. Si l’on fait

${\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a-4h}}}=\sin u,\quad 2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i=\theta ,$

et qu’on se souvienne que ${\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}}=e$ (n^o 17), il est clair que l’équation (F) du n^o 15 prendra cette forme très-simple

$u-e\sin u=\theta ,$

dans laquelle $u$ sera évidemment ce que l’on nomme, d’après Kepler, l’anomalie excentrique, mais comptée du périhélie, et où $\theta$ sera, par conséquent, l’anomalie moyenne.