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faisant varier les quantités $x,y,z,$ des différences $\delta x,\delta y,\delta z,$ regardées comme infiniment petites. Donc les intégrales des équations dont il s’agit doivent résulter aussi des intégrales des mêmes équations de l’orbite non altérée, en y faisant varier non-seulement ces mêmes quantités, mais encore les constantes arbitraires introduites par les différentes intégrations, et qui, n’existant point dans les équations différentielles, peuvent, à leur égard, être aussi regardées comme variables.

Ainsi donc, pour avoir les intégrales des trois équations différentielles du numéro précédent, il n’y aura qu’à différentier à l’ordinaire les intégrales de l’orbite non altérée, trouvées dans la seconde Section, en y regardant les trois indéterminées $x,y,z$ et les six arbitraires $a,b,c,f,$ $g,i,$ comme variables à la fois, et marquant leurs différences par la caractéristique $\delta$ [à l’égard de $h,$ elle doit aussi être traitée comme variable, parce que c’est une fonction de $a,b,c,$ $f,g,$ donnée par l’équation (H) du n^o 16] ; les différences de ces arbitraires seront elles-mêmes les nouvelles constantes arbitraires que les intégrales cherchées doivent contenir pour être complètes.

25. Comme les formules (G) du n^o 15 donnent $x,y,z$ en $r,$ et que la formule (F) du n^o 14 donner en $t,$ on pourra tirer directement de la différentiation des premières les valeurs de $\delta x,\delta y,\delta z$ en $\delta r,$ ensuite on aura $\delta r$ par la différentiation de la dernière ; mais, à la place de $r,$ il sera plus simple d’introduire l’angle $u,$ au moyen des formules du n^o 20 ; et, pour donner à notre calcul toute la simplicité dont il est susceptible, nous remarquerons de plus que, la position du plan des $x$ et $y,$ auquel nous avons jusqu’ici rapporté l’orbite de la comète, étant arbitraire, on peut, sans nuire à la généralité du Problème, supposer que ce plan coïncide avec celui de l’orbite non altérée de la comète ; et l’on peut, par la même raison, supposer aussi que l’axe des $x$ coïncide avec le grand axe de la même orbite, en sorte que les abscisses $x$ soient prises depuis le foyer et soient positives en allant vers l’apside inférieure.

Ces deux suppositions donneront (n^os 17 et 19)

$\psi =0,\quad \alpha =\omega \,;\quad {\text{donc}}\quad b=0,\quad c=0,\quad f=e,\quad g=0,$