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Telles sont les valeurs complètes des quantités $\delta x,\delta y,\delta z,$ en tant qu’elles résultent des trois équations différentielles du n^o 23 ; et les quantités $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i$ sont les six constantes arbitraires que ces valeurs doivent contenir à raison des six intégrations qu’elles supposent.

27. Voyons maintenant comment on doit déterminer ces nouvelles arbitraires il est clair qu’elles dépendent des valeurs des quantités $\delta x,\delta y,\delta z,$ et de leurs différences premières ${\frac {d\delta x}{dt}},{\frac {d\delta y}{dt}},{\frac {d\delta z}{dt}},$ pour un instant quelconque donné. Il faudra donc différentier les expressions de $\delta x,\delta y,\delta z$ trouvées ci-dessus, en y regardant les arbitraires $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i$ comme constantes, c’est-à-dire, en y faisant varier seulement les quantités qui sont des fonctions du temps $t,$ pour avoir les valeurs de ${\frac {d\delta x}{dt}},{\frac {d\delta y}{dt}},{\frac {d\delta z}{dt}},$ lesquelles seront représentées, en général, par les formules suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d\delta x}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\delta a+{\frac {d\mathrm {B} }{dt}}\delta f+{\frac {d\mathrm {C} }{dt}}\delta g+{\frac {d\mathrm {D} }{dt}}\delta i,\\{\frac {d\delta y}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {E} }{dt}}\delta a\,+{\frac {d\mathrm {F} }{dt}}\delta f+{\frac {d\mathrm {G} }{dt}}\delta g+{\frac {d\mathrm {H} }{dt}}\delta i,\\{\frac {d\delta z}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {K} }{dt}}\delta b\,+{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}\delta c,\end{aligned}}$

Ces trois équations étant combinées avec les trois du numéro précédent, on en tirera, par la méthode ordinaire d’élimination, les valeurs des six inconnues $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i\,;$ et il est aisé de voir que ces valeurs seront de la forme suivante

${\begin{aligned}\delta a=&\mathrm {A} '\delta x+\mathrm {B} '\delta y\,+\mathrm {C} '{\frac {d\delta x}{dt}}\,+\mathrm {D} '{\frac {d\delta y}{dt}},\\\delta f=&\mathrm {E} '\delta x\,+\mathrm {F} '\delta y\,+\mathrm {G} '{\frac {d\delta x}{dt}}\,+\mathrm {H} '{\frac {d\delta y}{dt}},\\\delta g=&\mathrm {A} ''\delta x+\mathrm {B} ''\delta y+\mathrm {C} ''{\frac {d\delta x}{dt}}+\mathrm {D} ''{\frac {d\delta y}{dt}},\end{aligned}}$