Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/44

$a$ étant, suivant M. Clairaut, $6^{\circ }19',$ et $m$ un nombre très-peu différent de l’unité ; d’où l’on tire

$d^{2}\nu =m^{2}a\sin m\mathrm {V} d\mathrm {V} ^{2}.$

Faisant donc ces substitutions dans l’équation (4) ci-dessus, on la changera en celle-ci

$-d^{2}\theta -\mathrm {\frac {3M}{H}} \theta d\mathrm {V} ^{2}+\mathrm {\frac {3N}{2H}} d\mathrm {V} ^{2}+m^{2}a\sin m\mathrm {V} d\mathrm {V} ^{2}=0,$

d’où l’on aura, par les méthodes connues,

(5)

$\theta =\mathrm {C} \sin \mathrm {\left(V{\sqrt {\frac {3M}{H}}}\right)} +\mathrm {\frac {N}{2M}} \left[1-\cos \mathrm {\left(V{\sqrt {\frac {3M}{H}}}\right)} \right]-{\frac {m^{2}a}{m^{2}-\mathrm {\cfrac {3M}{H}} }}\sin m\mathrm {V} .$

$\mathrm {C}$ est l’une des deux constantes indéterminées introduites par la double intégration, l’autre ayant été supposée telle que l’angle $\theta$ soit nul lorsque $\mathrm {V} =0,$ c’est-à-dire lorsque le lieu vrai de la Lune est le même que son lieu moyen.

De là il est facile de voir que, si l’on veut tenir compte des autres inégalités du mouvement vrai de la Lune, et qu’on suppose pour cela

$\nu -180^{\circ }=\operatorname {long.\,moy.} {\text{☾}}-a\sin m\mathrm {V} -b\sin n\mathrm {V} -c\sin p\mathrm {V} -\ldots ,$

on trouvera pareillement

$\theta =\mathrm {C} \sin \mathrm {\left(V{\sqrt {\frac {3M}{H}}}\right)} +\mathrm {\frac {N}{2M}} \left[1-\cos \mathrm {\left(V{\sqrt {\frac {3M}{H}}}\right)} \right]$

$-{\frac {m^{2}a}{m^{2}-\mathrm {\cfrac {3M}{H}} }}\sin m\mathrm {V} -{\frac {m^{2}b}{n^{2}-\mathrm {\cfrac {3M}{H}} }}\sin n\mathrm {V} -\ldots .$

XX.

Conséquences qui résultent de la formule précédente par rapport
à la libration de la Lune et à sa rotation.

Comme l’équateur lunaire n’est que très-peu incliné à l’écliptique, il est clair que l’angle $\theta$ représentera, sans erreur sensible, la libration de