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laquelle, ne contenant plus de constantes arbitraires, devra être identique, c’est-à-dire, avoir lieu en même temps que les équations du numéro cité ; de sorte que la différentielle $d\Phi$ devra être telle que, si l’on y substitue à la place des différences secondes ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}$ leurs valeurs données par ces mêmes équations, tous ses termes se détruisent d’eux-mêmes ; c’est aussi de quoi on pourra se convaincre à posteriori par le calcul.

Or, comme les équations du n^o 22 ne diffèrent de celles du n^o 23 que parce que les valeurs de ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}$ ont les termes $-\mu \mathrm {X} ,\ -\mu \mathrm {Y} ,\ -\mu \mathrm {Z}$ de plus, il s’ensuit que si, au lieu de substituer dans l’expression de $d\Phi$ les valeurs de ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}},$ déduites des équations du n^o 23, on y substituait les valeurs de ces mêmes quantités, déduites des équations du n^o 22, on aurait nécessairement le même résultat que si l’on y substituait simplement $-\mu \mathrm {X} ,\ -\mu \mathrm {Y} ,\ -\mu \mathrm {Z}$ à la place de ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}},$ et qu’on y effaçât en même temps tous les autres termes. Soit $d\Delta$ ce que devient alors la valeur de $d\Phi$ ($\Delta$ étant ici regardée comme variable) on aura donc, pour les équations du n^o 22,

$d\Phi =d\Delta ,\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad \Phi =\Delta ,$

comme pour celles du n^o 23, mais avec cette différence, que $\Delta$ ne sera plus ici constante, mais une fonction donnée de $t\,;$ et cette équation $\Phi =\Delta$ sera par conséquent aussi une intégrale première des équations du n^o 22.

D’où il est aisé de conclure, en général, que, pour trouver les intégrales de ces dernières équations, qui sont proprement celles qui déterminent les perturbations de la comète, il n’y aura qu’à différentier chacune des formules $\Delta =\Phi$ trouvées plus haut (n^os 30, 31), en n’y faisant varier que la constante $\Delta$ et les différences premières ${\frac {d\,\delta x}{dt}},\ {\frac {d\,\delta y}{dt}},\ {\frac {d\,\delta z}{dt}},$ et y substituer ensuite à la place de ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}$ les quantités $-\mu \mathrm {X} ,$