Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/454

Telles sont les formules par l’intégration desquelles il faudra déterminer les valeurs des quantités $\delta h,\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i\,;$ et il est visible que ces intégrations ne demandent que de simples quadratures, puisque les quantités $x,y$ et $\mathrm {X,Y,Z}$ sont censées données en $t$ d’après les mouvements supposés connus de la comète dans l’orbite non altérée, et de la planète perturbatrice dans son orbite.

38. Connaissant ces différentes quantités, on aura les éléments de l’orbite troublée, au moyen desquels on pourra calculer, par les méthodes ordinaires, tant le lieu que la vitesse et la direction de la comète dans un instant quelconque, ainsi que nous l’avons démontré plus haut (n^o 34).

Pour cet effet, on se ressouviendra que $a$ est le grand axe de l’orbite non altérée, $4h$ le paramètre du grand axe, et $e={\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}}$ l’excentricité (n^o 17).

Ainsi $a+\delta a$ sera le grand axe de l’orbite troublée, $4h+4\delta h$ le paramètre de cette orbite, et $e+\delta e=e+2{\frac {h\delta a-a\delta h}{ea^{2}}}$ son excentricité.

Ensuite, en différentiant suivant $\delta$ les valeurs de $b$ et de $c$ de ce même n^o 17, et faisant, suivant l’hypothèse du n^o 25, $\psi =0,$ on aura

$\delta b=-\sin \omega \delta \psi ,\quad \delta c=\cos \omega \delta \psi \,;$

ainsi $\delta \psi$ sera l’inclinaison du plan de l’orbite troublée sur le plan de l’orbite non troublée, et $\omega$ sera l’angle que la ligne des nœuds de ces deux plans fait avec l’axe des $x,$ lequel est en même temps le grand axe de l’orbite non altérée (n^o 25) ; de sorte que sera proprement la longitude du nœud ascendant de l’orbite troublée, comptée sur le plan de l’orbite non troublée depuis le périhélie de cette dernière orbite.

En différentiant de même les valeurs de $f$ et de $g$ du n^o 17, et faisant, d’après le n^o 25, $\psi =0$ et $\varepsilon =0,$ on aura

$\delta f=\delta e,\quad \delta g=e\delta \varepsilon \,;$

et il est clair, par les dénominations du n^o 13, que $90^{\circ }+\delta \varepsilon$ sera la lon-